Ben314 a écrit:Salut,
Perso., une fois démontré que l'hypothèse implique que G est commutatif, je procèderais le plus bètement du monde :
- Si on choisi un
- Si (sous groupe engendré par) on choisi un
- Si on choisi un
etc...
Le processus est forcé de s'arrêter vu que G est fini et on montre trés facilement que les répondent à la question.
Ben je vois pas trop comment développer plus que ça : on prend simplement des éléments de G les uns aprés les autres jusqu'à ce qu'on en ait assez pour engendrer G tout entier....capitaine nuggets a écrit:Par contre, j'ai du mal à comprendre ce que tu essaies de me dire.
Pourrais-tu développer ton idée stp ?
barbu23 a écrit:Bonjour, :happy3:
@capitaine nuggets :
Si tu connais le théorème de la base incomplète dans un espace vectoriel ( de dimension finie puisque ton groupe est fini ), alors il est facile de comprendre la méthode que @Ben t'a proposé pour résoudre ton exercice. :happy3:
Le théorème de la base incomplète repose sur l'axiome de choix et consiste à chercher une famille libre et génératrice d'un espace vectoriel de dimension . Par l'axiome de choix, on choisis dans un premier temps, un vecteur libre quelconque de , cela donne une famille libre de . Le but est de compléter cette famille par une famille d'éléments un par un ( i.e : on choisis : tels que est une famille libre de , et ainsi de suite, jusquà former une famille libre qui est une famille libre mais surtout génératrice de , c'est à dire : ).
C'est le même principe qu'avait utilisé @Ben plus haut. :happy3:
Cordialement. :happy3:
capitaine nuggets a écrit:Ensuite, il faudra en déduire à quel groupe G est-il isomorphe (j'ai pensé à , car chaque sous-groupe est d'ordre ).
Là, la question était claire.capitaine nuggets a écrit:Supposons G un groupe commutatif fini tel...
Ben314 a écrit:Là, la question était claire.
Dans le cas où p=2 (i.e. x²=1 pour tout x de G) on montre facilement que G est abélien.
Dans le cas p quelconque, je ne pense pas qu'on puisse en déduire que G est commutatif.
Je te cherche un contre exemple...
Ben314 a écrit:Sauf erreur, en recopiant la preuve, tu arrive au même résultat, à savoir que G est isomorphe à (Z/pZ)^k pour un certain k.
En fait, si ça t'interesse, le "lien" qu'il y a avec l'algèbre linéaire vient du fait que tout groupe commutatif est naturellement muni d'une structure de Z-module qui est, grosso-modo, l'équivalent d'une structure de K-espace vectoriel mais dans le cas où le corps de base K n'est pas un corps, mais uniquement un anneau (par exemple... Z)
Et, si tu veut aller (pas mal) plus loin, il y a un théorème qui dit que tout groupe commutatif est isomorphe à un unique où et divise pour tout .
capitaine nuggets a écrit:Ok, mais du coup, comment décrire les sous-groupes d'ordre ?
capitaine nuggets a écrit:Ok, mais du coup, comment décrire les sous-groupes d'ordre ?
Je sais pas trop ce que tu veut dire par "décrire" : chaque est un sous-groupe d'ordre p de G, engendré par un certain , mais les n'ont rien de franchement particulier vu qu'on peut les prendre (presque) au pif :capitaine nuggets a écrit:Ok, mais du coup, comment décrire les sous-groupes d'ordre p ?
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