Somme direct et symetrie

[praud]

Soit f une forme lineaire non null sur un espace vectoriel E et x un vecteur de E tel que f(x) soit non null alors,il faut montrer que E est en somme directe de Ker(f) et de vect(x).
J'ai une deuxieme question:comment faire pour adapter la demonstration sur les projecteurs si p est un projecteur orthogonal alors p(x).y=p(y).x(le . designe le produit scalaire) aux symetrie.
merci

[daiski]

salut
pour ta première question retiens ce résultat ' les hyperplans d'un e-v de dim finie sont les noyaux des formes linéaires'

dans la suite je suppose que E un IR -ev de dimension finie.

montrons E = kerf + vect(x) et que cette somme est directe (x étant tel que f(x) # 0)
soit t de l'intersection ker(f) inter vect(x) alors f(t) = 0 et il existe a € IR (E IR-e.v ..) tq t = ax alors par linérité f(t) = a f(x) =0 d'où puisque l'on travaille dans un Espace vectoriel et f(x) # 0 on déduit que a =0 et par suite t =0 donc l'intersection ker(f) inter vect(x) est réduite au singleton {0}.

Or on a d'après le théorème du rang : dim(kerf) + rg(f) = n (dimension de l'espace) avec f non nulle et forme linéaire ==> rg(f) = dim (f(E)) = dim(IR)= 1
d'où dim(ker(f)) = n-1 .

on en déduit alors que dim(vect(x)) + dim(ker(f)) = n ce qui achève la preuve de la supplémentarité de ces deux sous espaces.

2) ben la symétrie associée à un projecteurs s'exprime explicitement en fonction de celui ci .les lie cette relation : s = 2p-id donc p = 1/2(s+id) .et tu continues