Somme directe de F et de son complémentaire orthogonal dans

[seriousme]

Bonjour,

dans un espace hilbertien E quelquonque (séparable ou pas), si F est un fermé :


Si E admet une base orthonormée alors la démonstration peut se faire en utilisant l'orthogonalité des vecteurs de cette base.

Cependant si E n'est pas séparable alors il n'admet pas de base orthonormée.

Toutefois, est-il possible de se baser sur le premier résultat pour généraliser l'égalité dans le cas d'espace non séparable ?

Merci.

[ThSQ]

Bien sûr c'est vrai des que le sev est fermé (cf n'importe quel cours d'analyse hilbertienne)

[Nightmare]

salut :happy3:

Il me semble que dans le cas non séparable, si l'on invoque l'axiome du choix on a quand même l'existence d'une base Hilbertienne !

[Nightmare]

De toute façon, il ne semble pas que l'on ait besoin d'évoquer l'existence d'une base Hilbertienne pour montrer ce théorème du supplémentaire orthogonal...

[seriousme]

Merci de vos réponses.

dans le cas non séparable, si l'on invoque l'axiome du choix on a quand même l'existence d'une base Hilbertienne

Par conséquent cette proposition :
"Un espace hilbertien admet une base orthonormée ssi il est séparable",
est fausse ?

Et ça serait plutôt :
"Un espace pré-hilbertien admet une base orthonormée ssi il est séparable",
?

Merci.

[ffpower]

ca dépend ce que tu entend par "base hilbertienne".Si l espace n est pas separable,les bases hilbertiennes ne seront pas dénombrables

[Nightmare]

Oui, comme le dit ffpower, l'axiome du choix donne l'existence d'une base Hilbertienne indénombrable. Il faut que je retrouve cette démo, je ne l'ai plus en tête.

[seriousme]

ca dépend ce que tu entend par "base hilbertienne"

C'est au sens de wiki : http://fr.wikipedia.org/wiki/Base_de_Hilbert
Donc une famille génératrice, pas forcément dénombrable, dont les vecteurs sont orthogonaux deux à deux.
Y a t'il d'autres définitions, distinguant les bases selon leur dénombrabilité ?

Si l espace n est pas separable,les bases hilbertiennes ne seront pas dénombrables

l'axiome du choix donne l'existence d'une base Hilbertienne indénombrable

Ah d'accord, la séparabilité ne concerne que la dénombrabilité et non l'existence de la base hilbertienne dans le cas d'un espace hilbertien.
Ce qui donnerait une proposition (1) :
"Un espace hilbertien admet une base hilbertienne dénombrable ssi il est séparable"
?

Par contre dans le cas d'un espace pré-hilbertien la séparabilité concerne l'existence d'une base hilbertienne, mais pas forcément l'existence d'une base hilbertienne dénombrable.
Et par conséquent une proposition (2) vraie serait :
"Un espace pré-hilbertien admet une base hilbertienne ssi il est séparable"
?

Et avec les deux propriétés de séparabilité et complétude :
"Un espace pré-hilbertien admet une base hilbertienne ssi il est séparable et complet"
qui revient au même que la proposition (1).

[ThSQ]

"Un espace hilbertien admet une base hilbertienne dénombrable ssi il est séparable"

Dénombrable ou finie ...

L'existence de base hilbertienne nécessite (et même équivalent) à Zorn, ça se démontre comme pour l'existence d'une base d'un ev.

Avec F est un fermé : se fait sans faire référence à une base hilbertienne.

[seriousme]

Merci de ces précisions.

Concernant les espaces pré-hilbertiens, la séparabilité implique l'existence d'une base hilbertienne, mais implique t'elle aussi la dénombrabilité de cette base, comme pour les espaces hilbertiens ?