Séries entières

[Trident]

Bonjour à tous, un petit problème concernant les séries entières :

Soit

Il faut déterminer le rayon de convergence de la série entière

La correction du livre se base sur la méthode ci-contre :

Soit une série entière . Si on connaît un complexe tel que soit bornée, alors le rayon de R convergence R est tel que R >= |z0|

Si on connaît un complexe tel que n'est pas absolument convergente, alors R est tel que R <= |z0|

Ici, on pose z_0 = 1 et on veut montrer les deux propriétés énoncées ci dessus, c'est à dire que :

1° (a_n) est bornée.

2° n'est pas absolument convergente.

La correction propose la chose suivante :

Pour tout t dans [0; pi/2] ; on a : (comment trouvent-ils ceci, je pourrais vérifier aisément que cette affirmation est vraie, mais comment la trouver à partir de rien ?)

Donc par conséquent :

Pour tout n dans N et pour tout t dans [0;1], on a :

et d'où en intégrant :



L'inégalité de gauche entraîne que la série diverge et celle de droite que la suite est bornée donc R=1.

Mais le problème, c'est que je trouve que la limite de la suite a_n est 0..
En effet, a_n est positive sur [0;1] car l'intégrande l'est et donc on a :

0 <= a_n <= 1/(n+1) et par le théorème des gendarmes, a_n converge vers 0 ?


Merci.

[Doraki]

Ce sont les inégalités les plus simples possibles qui donnent un encadrement de an qui permette de dire des trucs bien sur son comportement quand n tend vers l'infini.

Je ne vois pas ce qui te fait penser que "an tend vers 0" pourrait être un problème.
"an tend vers 0" c'est une phrase vague. Le but n'est pas de voir si an tend vers 0 ou non, mais d'avoir une idée un peu plus précise sur sa vitesse de convergence.
"A/n <= an <= B/n" est beaucoup plus précis et permet d'en déduire le rayon de convergence.

[Trident]

[quote="Doraki"]Ce sont les inégalités les plus simples possibles qui donnent un encadrement de an qui permette de dire des trucs bien sur son comportement quand n tend vers l'infini.

Je ne vois pas ce qui te fait penser que "an tend vers 0" pourrait être un problème.
"an tend vers 0" c'est une phrase vague. Le but n'est pas de voir si an tend vers 0 ou non, mais d'avoir une idée un peu plus précise sur sa vitesse de convergence.
"A/n = (2/pi)t ?

[Doraki]

tu penses à n'importe quelle inégalité qui simplifie l'intégrale et qui ne soit pas sin(t) >= 0 (qui n'aide strictement pas).

On trace sin(t) sur [0;1] et on voit tout de suite qu'on peut mettre une droite non horizontale en-dessous de sin(t)

[Trident]

tu penses à n'importe quelle inégalité qui simplifie l'intégrale et qui ne soit pas sin(t) >= 0 (qui n'aide strictement pas).

On trace sin(t) sur [0;1] et on voit tout de suite qu'on peut mettre une droite non horizontale en-dessous de sin(t)

Ok merci !