Séries entières

par **Mike_51** » 04 Fév 2006, 19:21

Bonjour. Est-ce qu'il y orait unp'tit génie en maths qui pourrait m'aider a faire (ou au moins commencer) cet exo:
On pose Uo=1 et Pour tout n, U(n+1)=UoUn+U1U(n-1)+...+UnUo.
Calculer la somme de n=0 a +oo de Unx^n.
Merci.

par **quinto** » 04 Fév 2006, 19:56

Mike_51 a écrit:Bonjour. Est-ce qu'il y orait unp'tit génie en maths qui pourrait m'aider a faire (ou au moins commencer) cet exo:
On pose Uo=1 et Pour tout n, U(n+1)=UoUn+U1U(n-1)+...+UnUo.
Calculer la somme de n=0 a +oo de Unx^n.
Merci.

Bonjour, merci de parler français.
Qu'as tu déjà fait?

par **memphisto** » 04 Fév 2006, 20:03

As tu essayé d'exprimer u_n en fonction de n ?

par **Zeitblom** » 04 Fév 2006, 20:24

Dans le chapitre Séries entières, un truc qui a cette tête :UoUn+U1U(n-1)+...+UnUo , à quoi pense t-on ? A un produit bien sûr !
Appelle f la somme de ta série, (que tu supposes de rayon non nul) et calcule f(x)^2 par exemple.

par **yos** » 04 Fév 2006, 20:24

Produit de Cauchy en décomposant aussi x^n en x^k x^(n-k)

par **Mike_51** » 04 Fév 2006, 20:56

Merci pour les indications. J'avais penser à interpréter cette série comme un produit de Cauchy, mais ce n'est pas pour autant simple. Car ils faut montrer la convergence absolue des 2 séries du produit et on revient (presque) à la série de départ.

par **isortoq** » 04 Fév 2006, 21:57

Si f(x) est la somme, f(0)=1 et si le rayon de convergence R est >0, alors pour x non nul on a

xf(x)^2-f(x)+1=0

un petit discriminant et on a f(x) (pour décider entre les 2 racines on utilise la continuité de f en 0)

Mais R est-il >0 ??

par **yos** » 04 Fév 2006, 22:28

Donc, selon isortogonal, f(x)=2/[1+racine(1-4x)]
Qui se développe en série entière avec assurément R=1/4.
Ca devrait permettre de conclure, non?

par **isortoq** » 04 Fév 2006, 23:26

What you mean Yos ? M'aurais-je gouré ??

par **memphisto** » 04 Fév 2006, 23:33

lol^^mdr^^
me serais-je gouré?

par **yos** » 04 Fév 2006, 23:51

Non mon argument est faiblard. Ce que j'espèrais, c'est qu'en développant

on arrive à des coef

explicites, et on pourrait trouver le rayon de convergence avec ça. J'ai pas trop essayé, j'ai plutôt tenté de majorer

, mais c'est pas évident. Les termes montent vite et ça m'étonnerait pas trop que R=0.

par **yos** » 05 Fév 2006, 00:43

Ah si ça marche. On trouve

Et c'est bien R=1/4.

par **isortoq** » 05 Fév 2006, 10:18

Hum !... j'avais failli écrire : "M'aurais-je gouru ?"... J'ai bien fait de me retenir, car Memphisto veille...

Sinon, bien vu l'expression de Un... Récurrence ?

par **Mike_51** » 05 Fév 2006, 15:30

Hello! J'ai un peu (peut-etre trop?) de mal à comprendre comment vous résolvez l'équation du 2nd degré, puisque les coefficients ne sont pas constant, à cause du x devant f(x)?

par **memphisto** » 05 Fév 2006, 15:30

Qu' ouis-je? Qu'entends-je? T'aurais tu gouru? ^^

par **memphisto** » 05 Fév 2006, 15:32

Je n'ai pas fais l'exo pour vérifier, Mike_51, mais il faut prendre le x comme un coefficient de l'équation du second degré, dont une des solutions est la fonction f(x). Donc cette solution dépend de x de la même manière que les solutions d'une équation du second degré dépend des coefficients de cette équation.

par **yos** » 05 Fév 2006, 18:33

.
La seconde expression est plus lisible en 0 mais la seconde est plus simple pour le DSE.
Appendice culturel :

est le n-ème nombre de Catalan. C'est le nombre de valeurs différentes que peut prendre un produit

lorsque la loi n'est pas associative.

par **Mike_51** » 05 Fév 2006, 19:01

Ah oui d'accord merci, j'avais juste pas compris pourquoi le 2 se retoruvait en haut et la racine en bas et j'avais pas penser a multiplier par la quantité conjuguée. Et bravo pour l'appendicite culturelle.

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