Fonctions développables de séries entières

[minidiane]

Bonjour je n'arrive pas à résoudre cet exercice pouvez-vous m'aider? svp
Merci

f(x)= exp (-1/x²) si x différent de 0
f(x)=0 si x=0

1) Montrer que f est C infini sur R et f^n(x)=Pn (1/x) exp(-1/x²) si x différent de 0 avec Pn un polynôme.

2)Montrer que f^n(0)=0 quelque soit n.

3) Montrer que f n'est égale à la somme de la série de Taylor sur aucun intervalle ]-R,R[ avec R>0.

Pour la première question j'ai mis que f est C infini sur R car -/x² est C infini sur R et exp (x) aussi. Mais je ne sais pas si c'est juste et si cela suffit pour dire que f est C infini sur R. Ensuite j'ai calculé f'(x) j'ai trouvé f'(x)= 2/x² (1/x) exp(-1/x²)=P1 (1/x) exp(-1/x²). Puis j'ai fait une récurrence mais je ne sais pas si elle est correcte. f^(n+1) (x)= Pn (1/x)exp(-1/x²) + P1 (1/x)exp(-1/x²)=(1/x)exp(-1/x²)(Pn+P1)= Pn+1 (1/x)exp(-1/x²).
Puis j'ai mis donc on a bien f^n(x)=Pn (1/x)exp(-1/x²).
Est-ce que c'est correcte?
Pour la deuxième question j'ai dit que f^n(x)=0 car f(0)=0.
Et la troisième question je ne sais pas du tout comment faire.

[bauzau]

bonjour,


pour la premiere question, tu es sure que (-1/x²) est C infini sur ... R? je croyais pourtant que (-1/x²) n'était pas définit en zéro...

en fait c'est presque ca:

(-1/x²) est C infini sur R\{0} (car fraction de polynome dont le dénominateur s'annule en x=0)

exp: R->R est C infini

f est continu en 0 car

donc f C infini sur R


question 2

il faut remarquer la nuance: f(n)(x)=0 non parce que f(x)=0
mais parce que f est définit en 0 par f(0)=0, donc en dérivant f en zero, on a f'(0)=(0)'=0, et de meme f''(0)=0, etc...

[fahr451]

bonjour

je me souviens avoir répondu exactement à la même question ici il y a quelque temps.

cf bauzau la continuité de f en 0 n'assure en rien que f est de classe c infinie en 0

f est c infinie sur R*

et pour x >0 f^(n) (x) = Pn(x) /x^(3n) f(x) avec Pn polynôme ( récurrence sur n)

on montre ainsi qu' en 0 lim f^(n) = 0 ce qui garantit que f est C infinie en 0 avec dérivées toutes nulles
2) la série de taylor est donc identiquement nulle ce que f n 'est pas sur tout intervalle ]-r,r[ r>0

[minidiane]

Merci pour votre aide, fahr451 pourrais tu mettre le lien de l'endroit où tu as répondu à cette question.
Merci.

[fahr451]

désolé je ne sais pas faire ça, mais je viens exactement de redonner la preuve que j'avais donnée, j 'ai tout dit, si tu ne comprends pas, dis où exactement

[minidiane]

ok.

Je ne comprend pas et pour x >0 f^(n) (x) = Pn(x) /x^(3n) f(x)
Le x^3n il vient d'où?
Je n'arrive pas à faire la récurrence. :mur:

[fahr451]

je n'avais pas lu la question 1) qui demande f^(n) (x) = Pn(1/x) f(x)


pour l'expression que je proposais (juste également)

n= 0 ok avec P0 = 1

on suppose le résultat pour n on a
pour x>0 f^(n) (x) = Pn(x) /x^(3n) f(x)

d'où
f^(n+1) (x) = P ' n (x) /x^(3n) f(x) - 3nPn(x) /x^(3n+1) f(x) +2Pn(x)/x^(3n+3) f(x) en dérivant comme un produit de trois facteurs = [x^3 P'n(x) -3nx^2Pn(x) +2Pn(x) ]/x^(3n+3) f(x)

et le résultat pour n+1

[minidiane]

ok par contre je n'ai pas compris comment tu trouve pour x>0 f^(n) (x) = Pn(x) /x^(3n) f(x) paux tu m'expliqué stp. Merci

[fahr451]

la récurrence pose un problème ?

[minidiane]

Oui je n'arrive pas à la faire correctement

[fahr451]

n= 0 ok?
on suppose pour n

j 'ai dérivé comme un produit uvw

(uvw )' = u'vw+uv'w+uvw'

avec u = Pn; v(x) = x^(-3n) ;w = f

[minidiane]

je n'ai pas compris pourquoi P0=1 et pourquoi v(x) = x^(-3n) et pas v(x)= x^(3n)

[fahr451]

ben c 'est x^3n au dénominateur ma formule donc x ^(-3n)


et pour n = 0

f^(0) (x) = f (x) = 1 / x^(3.0) f(x) donc P0(x) = 1 convient

[minidiane]

ok je commence à comprendre

[fahr451]

mais la formule demandée par l énoncé Pn(1/x) f(x) = f^(n) (x) est encore plus immédiate

[minidiane]

Pour la deuxième question je dois aussi faire une récurrence ou il y a plus simple?

[fahr451]

bonsoir
j 'ai répondu déjà à toutes les questions

oui récurrence et "prolongement de la dérivée"

[minidiane]

ok excuse moi je n'avais as très bien compris