Séries entières

[goudou]

Bonjour à tous,

J'ai une petit soucis pour un exercice que je n'arrive pas à résoudre.

F(x)=;)[n>=0] (exp((2^n)ix)/n!), x appartenant à R.
Montrer que F définit une fonction C;).

Comme cet exercice se trouve dans le chapitre sur les séries entières, je sais que je dois utiliser une de leurs propriétés.
Si F s'écrivait bien de la forme an*z^n, il suffirait de montrer que le rayon de convergence de an > 0.
Or là, F n'est pas écrite sous la forme d'une série entière, et je ne vois vraiment pas comment faire.
Si quelqu'un pouvait me donner un coup de main ...

Merci !

[alavacommejetepousse]

bonjour

deux réponses

1 tu es ds le bon chapitre et en posant z = exp(ix) tu as une série entière (lacunaire)

2 l exercice s 'est égaré dans ce chapitre et il suffit de le replacer ds celui des séries de fonctions

[goudou]

Non non, je suis sûre d'être dans le bon chapitre (la feuille d'exercices entière est sur les séries entières !), mais je n'ai jamais vu les séries entières lacunaires :/

[alavacommejetepousse]

ben il y a des trous

a(n) = 0 si n n'est pas une puissance de 2 et vaut 1/p! si n = 2^p

[goudou]

Excusez moi de ne revenir sur ce sujet que maintenant, je n'ai pas eu accès au net du week end ...

Je ne comprends pas le principe. En posant z=exp(ix) et an= 0 ou 1/p!, on ne retrouve pas ;)anz^n = F(x) ?

[Ben314]

Si j'ai tout bien compris, ta fonction, c'est
c'est à dire où
donc
qui est tout ce qu'il y a de plus une série entière : avec

[goudou]

D'accord, je visualise très bien maintenant.
Cependant Ben, je crois que tu as fait quelques petites erreurs : on a a2=1, et a8=1/6, a16=1/24, ... ?

Ensuite, on peut dire que ;)ap*z^p,
avec ap=1/n! si p=2^n,
=0 sinon

Cependant, je ne vois pas comment trouver le rayon de convergence de cette série entière. D'une part, on a deux expressions de an. Je veux bien chercher les 2 rayons, et montrer que tous les deux sont positifs. D'autre part, je ne vois pas comment travailler avec ap=1/n!, car ce n'est pas l'expression de an directement ...

[Ben314]

D'accord, je visualise très bien maintenant.
Cependant Ben, je crois que tu as fait quelques petites erreurs : on a a2=1, et a8=1/6, a16=1/24, ... ?

Effectivement, c'est un peu tout faux... m'enfin t'as compris le principe, c'est le principal.

Pour le rayon de convergence, il me semble que tu est quasi obligé de prendre la formule "de base" du rayon de convergence (Remarque : une série n'a bien sûr qu'un seul rayon de convergence) :

Or, ici, lorsque p n'est pas une puissance de 2 et lorsque donc

[goudou]

Oui oui, tout ça, je l'avais bien compris, ma question est justement, comme on a deux ap différents, en fonction de p=2^n ou p;) 2^n, quel ap prend t-on dans la formule de calcul de 1/R ?

J'ai essayé avec ap=1/n! quand p=2^n,
1/R = lim a(p+1)/ap = lim(1/(n+1)!)/(1/n!)=0 donc R=+;),
mais je ne suis pas sûre du tout de pouvoir l'appliquer comme ça, et je ne me suis pas occupée du cas p;) 2^n

[Ben314]

1/R = lim a(p+1)/ap = lim(1/(n+1)!)/(1/n!)=0 donc R=+;)

Ca, je te le dit carrément, c'est... n'importe quoi : si p=2^n, ça me ferait assez mal au cul que p+1=2^(n+1) !!!!
ici, la formule a(p+1)/ap ne risque pas de marcher : a(p+1)/ap peut valoir soit 0/?=0, soit ?/0=+oo soit (le plus fréquent) 0/0=indéterminé.
Donc la limite de a(p+1)/ap ne risque pas d'exister et donc cela ne te donne aucune information vu que le théorème dit que :
Si lim a(p+1)/ap existe alors cette limite est 1/R.

C'est pour cela que je t'ais dit qu'il fallait prendre la formule "de base" qui dit que, dans tout les cas, 1/R est la limite sup des racine p-ième de ap.
Comme pour p distinct de 2^n on a ap=0, la limite sup est en fait celle des racines (2^n) ièmes a(2^n) :