Séries entières, fonction exponentielle

[yippeekiyay]

Bonjour,

[url]http://fr.wikiversity.org/wiki/Série_entière/Fonction_exponentielle[/url]

Comme le théorème est vrai pour tout z, lorsque z=0, exp(0)=1 ma question est la suivante:

La somme de 0 à l'infini de z^n/n! est donc aussi égale à 1, alors que je trouverais plus naturel que cette somme soit égale à 0 (car 0^n/n! = 0) ..

Il y a certainement quelque chose qui m'échappe si quelqu'un peut m'éclairer... Merci

[Luc]

0^n/n! = 0

Bonjour,

cette égalité est vraie si .
Donc tous les termes sont nuls pour . Reste le terme pour n=0, qui vaut (0^0)/(0!)=1/1=1.

Après, quelle est ta définition de la fonction exponentielle? Car souvent on prend comme définition, justement, la somme de cette série entière (car on peut alors calculer l'exponentielle de pleins de trucs : réels, complexes, matrices,...)

[yippeekiyay]

Bonjour,

cette égalité est vraie si .
Donc tous les termes sont nuls pour . Reste le terme pour n=0, qui vaut (0^0)/(0!)=1/1=1.

Et oui!! :marteau:
Merci!

[yippeekiyay]

Alors finalement 0^0=1 cela me parait pas évident en écrivant la puissance avec l'exponentielle, c'est par convention c'est ça?

[yippeekiyay]

(Ou même avec les régles sur les puissances x^P=x^0x^P donc si x différent de 0 on peut diviser par x^p donc x^0=1. Mais si x=0?)

[mrif]

Alors finalement 0^0=1 cela me parait pas évident en écrivant la puissance avec l'exponentielle, c'est par convention c'est ça?

Oui c'est une convention qui découle naturellement de la limite en 0 de la fonction