Série de Dirichlet

[Cauchyx]

Bonjour,
J'ai un problème dans la compréhension de la démonstration de ce résultat issue de Cours d'arithmétique, de J.-P. Serre.
On définit $\zeta_{m}(s)= \prod_{\chi \text{ mod m}} L(s,\chi)$ où le produit est fait sur les caractères du groupe des inversible de (Z/nZ) et $L(s,χ)= \sum_{n\geq 1} \frac{\chi(n)}{n^{s}}$.
On prolonge $\zeta_{m}$ meromorphiquement au plan $\Re(s)$>0 avec un pôle simple en s=1.
On remarque que cette fonction s'écrit comme un série de Dirichlet à coefficients positifs.
De ça, ils en tirent que si une des $L(1,\chi)$ était nul pour χ != 1, en "tuant le pôle simple", on aurait un prolongement de façon holomorphe à l'intégralité du demiplan ouvert, mais ils en déduisent même la convergence de la somme de la série de Dirichlet dont f était la somme sur les $Re(s)$>1 au départ... Pourquoi??

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

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