Questions arithmétique

[Craw]

Bonjour,

Je ne sais répondre à rien à part les exos 2 et 4.
Pouvez-vous me donner des pistes ? Merci d'avance. Pas la solution entière svp, j'aime bien chercher.

https://www.docdroid.net/dLrBZv2/exercices-maths-2-pdf

[Craw]

Je soupçonne le théorème de Wilson pour les exos 3 et 5. Et le petit théorème de Fermat pour l'exo 6.

Est-ce correct ? Par contre l'exo 1 je ne vois pas du tout quoi utiliser...

[Ben314]

Salut,
Je trouve que la façon dont les questions sont posées est on ne peut plus bizarre.

Exercice 3 :
Modulo de le traduire de façon plus compréhensible, l'énoncé demande de montre que, si est premier alors est congru à modulo .
Et ça découle immédiatement du théorème de Wilson : (facile à démontrer si tu ne l'a pas vu). Et l'hypothèse n'est pas utile.
Par contre, je comprend absolument pas le sens de la prétendue indication : les sont sensés être des "reste successifs". Je suppose que c'est des restes de divisions, mais de division de quoi par quoi ?

[Craw]

Salut,

Merci à toi, j'avais vu juste alors.
r est le reste de la division de (n-1)!-n par n+2

[Ben314]

Exercice 5 :
Montre que .
Puis utilise simplement le fait que qui suffit pour conclure.

[Craw]

Merci beaucoup Ben314.

Pour l'exo 6 je peux utiliser le petit théorème de Fermat ?

Et pour l'exo 1 une idée svp ?

Merci.

[Ben314]

Exercice 6 :
C'est bien le petit théorème de Fermat qui fait marcher le bidule : le (encore une fois définie de façon saugrenue), c'est où est le reste de la division de par .
Le petit théorème de Fermat permet d'avoir facilement modulo ainsi que modulo et avec ces deux infos, tu peut en déduire modulo (sur le principe, c'est le théorème des restes chinois, mais ici, on peut facilement tout faire à la main) puis la valeur explicite de donc de et on voit clairement que c'est un multiple de .

Je regarde le 1) (mais je fait autre chose en même temps . . .)
Tu as réussi à montrer l'indic que j'ai donné pour le 5 ?
(il faut évidement commencer par le cas où a et b sont premiers entre eux et il y a un petit truc à voir)

[Craw]

J'essaye, j'essaye...

Pour la 1 j'ai un début de démo.

Soit A=a^n-2
Grâce à la congruence, on a n divisant Phi(A)+2 en particulier comme 4 divise n on a 4 div Phi(A)+2 mais alors 4 ne divise pas Phi(A).

D'après ce post (https://math.stackexchange.com/question ... sible-by-4) alors forcément A=p^m ou A=2p^m m entier et p premier = 3 [4]
Par la formule de l'indicatrice qu'importe la forme de A On a alors Phi(A)= (p-1)*(p^(m-1)). Il faut montrer que m=1

Quelque soit la forme de A comme Phi a toujours la même valeur en injectant dans la congruence on a :
(p-1)p^m =-2 [n]
en particulier
(p-1)p^m = -2 [16]
2p^m = -2 [16]
p^m = -1 [8]
en particulier
p^m = -1 =3 [4]

Je crois que je me suis mélangé les pinceaux...

[Ben314]

J'ai pas le temps de chercher plus ce soir (autre chose à faire), mais j'avais plus ou moins fait les mêmes constats.

Attention (si tu veut rédiger propre) que pour avoir pair, mais non divisible par 4, il y a aussi le cas particulier . Sauf qu'ici, c'est clairement impossible.
Et sinon, ce résultat est assez trivial vu que, si alors où les sont pairs sauf pour . Donc s'il y en a deux ou plus, le résultat est multiple de 4.
Sinon, un autre truc que j'ai essayé (sans succès pour le moment), c'est d'utiliser le fait que, si alors . Avec et ou (en supposant impair), on arrive à écrire des trucs, mais rien de concluant pour le moment.

[Ben314]

J'ai l'impression de tomber sur un truc bizarre, à savoir qu'il n'y a pas de solutions pour l'exercice 1 (donc c'est pas faux de dire que dans ce cas le bidule est premier vu qu'il n'y a pas de tel cas . . .)
Vu que donc il est pair et non multiple de 4 ce qui implique que est soit égal à 4 (exclu vu que ), soit à , soit à avec, dans les deux cas premier et pour que le de soit divisible par 2, mais pas par 4.
On a forcément car :


Mais c'est à dire donc et .
Sauf qu'un nombre congru à 3 mod. 16 (donc mod. 8), à la puissance , ça ne donne jamais -1 mod. 8.

[Craw]

J'ai une piste.
La conjecture 3.2 de ce papier : https://arxiv.org/pdf/2001.09617.pdf impliquerait la conjecture du problème 1.

[Ben314]

Tu as trouvé une erreur dans mon message précédent ?

[Craw]

Là comme ça non mais que penses-tu de mon message précédent ? À savoir que la conjecture du papier cité sur arxiv impliquerait ma conjecture ?

Je n'en suis pas certain.