Produit scalaire

[kaya]

Salut à tous!
Encore de l'algèbre!
En fait c'est une question, la dernière dans un sujet d'examen:
la question est de trouver l'orthogonal du sev (sev engendré par et ) où et dans
Moi j'ai considéré le vecteur )et trouver y tq: (ici est défini comme de produit scalaire de x et y à travers un forme bilinéaire pour ne pas confondre avec "engendré")
Ensuite je me suis proposé de trouver un base orthogonal où la forme quadratique associée à s'écrira en somme de carrés càd
)
et là on peut établir le calcul comme dans la base canonique et on aura cependant une expression de y qu'on va ramener dans notre base initiale.
mais le problème c'est qu'on a pas :hein: .
Et je vous fais remarquer que cette question n' a pas de cohérence avec les précédantes.
N'hésitez pas à en demander de précision si nécéssaire, merci :help: !!

[Galt]

Sans autre précision, je pense que le produit scalaire en question est le produit scalaire standard de , soit celui où la base canonique est orthonormale.
est orthogonal à u et v si et ssi , ce plan est donc engendré par et

[kaya]

Aussi facilement!!
Je ne sais pas si je dis juste mais entendu parlé du prcédé de Schmidt, si vous en savez (on dit que là il n'est pas question de supposer quoi que ce soit). je ne l'ai pas dans mon cours mais j'essaie de comprendre en cherchant dans des sites maintenant mais je ne comprend pas vraiment ce qu'on y dit.
Si vous vous pouvez un peu me guider sur ce point, ce serait génial!! SVP...

[Galt]

C'est un peu plus compliqué : il s'agit de construire un système orthonormal à partir d'une base quelconque, de proche en proche, de façon que l'espace engendré par les premiers vecteurs reste toujours le même
On a quelconque, et on cherche orthonormale, de façon que , , et ainsi de suite
On commence par normer pour trouver
Ensuite, on cherche sous la forme , on veut donc ce qui permet de trouver p, puis on norme.
Supposons construits , on cherche sous la forme , et on écrit que tous les produits scalaires avec sont nuls. Comme la famille est orthonormale, les équations se réduisent à , , ...
Et on trouve donc (après l'avoir normé)

[kaya]

OK Galt,c'est noté
mais ta 1ère réponse coment t'as trouvé moi je n'ai trouvé que car par définition l' orthogonal de F qu'on notera F' est tel que , on a alors qu'ici le premier vecteur ne vérifie pas cette definition
donc pour cela j'ai pensé qu'il faut prendre comme solution l'ensemble des vecteurs tel que , si y a pas d'erreur de raisonnement bin sûr!
Merci quand même :id: :++:

[Galt]

Dans la mesure où F est de dimension 2, son orthogonal est de dimension 4-2 = 2. Il faut donc 2 vecteurs.
On résout le système que j'ai donné (w.u = 0 et w.v = 0), qui donne x=y et t=y et z fait ce qu'il veut.
les deux vecteurs (1,1,0,1) et (0,0,1,0) conviennent (et ils sont bien orthogonaux à u et v

[kaya]

Dans la mesure où F est de dimension 2, son orthogonal est de dimension 4-2 = 2. Il faut donc 2 vecteurs.
On résout le système que j'ai donné (w.u = 0 et w.v = 0), qui donne x=y et t=y et z fait ce qu'il veut.
les deux vecteurs (1,1,0,1) et (0,0,1,0) conviennent (et ils sont bien orthogonaux à u et v

Il faut justement 2 vecteurs mais il faut pensé à 2 autres vecteurs tels que:
càd on décompose en deux vecteurs! et ces 2 vecteurs engendreront tous les vecteurs engendrés par . Corrigez quand même au cas où erreur car c'est ma spécialité!