Trace d'une matrice, formule avec produit scalaire

[Wenneguen]

Bonjour,

j'aurais aimé savoir comment répondre à cette question : " Montrer que pour toute base orthonormée de , on a la formule . "

Pour la base canonique ok, mais pour une base orthonormée quelconque je ne vois pas.

Merci !

[mrif]

Bonjour,

j'aurais aimé savoir comment répondre à cette question : " Montrer que pour toute base orthonormée de , on a la formule . "

Pour la base canonique ok, mais pour une base orthonormée quelconque je ne vois pas.

Merci !

Il suffit de l'écrire:
est le vceteur formé par la i ème colonne de A pour toute base
est égal au terme de la matrice A

[Wenneguen]

Je comprends pas très bien... Qu'entends-tu par " est le vecteur formé par la ième colonne de A pour toute base (e1,e2,en) " ? Je veux bien que tu me détailles un peu les choses si ça ne te dérange pas :we:

[mrif]

Je comprends pas très bien... Qu'entends-tu par " est le vecteur formé par la ième colonne de A pour toute base (e1,e2,en) " ? Je veux bien que tu me détailles un peu les choses si ça ne te dérange pas :we:

Tu fais le produit matriciel de la matrice A par le vecteur colonne

[Wenneguen]

Tu fais le produit matriciel de la matrice A par le vecteur colonne

Et le résultat de ce produit est la ième colonne de la matrice A ?

[leon1789]

Et le résultat de ce produit est la ième colonne de la matrice A ?

Vérifie-le sur un exemple pour i=1 et i=2 , après tu comprendras.

[Wenneguen]

Vérifie-le sur un exemple pour i=1 et i=2 , après tu comprendras.

Si je prends et par exemple, je vois pas pourquoi on aurait .
A moins que j'ai vraiment du mal et que je dise n'importe quoi ? :hum: Si c'est le cas je veux bien qu'on me détaille un peu plus la chose :we:

[mrif]

Si je prends et par exemple, je vois pas pourquoi on aurait .
A moins que j'ai vraiment du mal et que je dise n'importe quoi ? :hum: Si c'est le cas je veux bien qu'on me détaille un peu plus la chose :we:

A est la matrice d'une application linéaire f dans la base (ei). Donc . Dans une autre base (e'i), f aura une autre matrice B différente de A et on aura:

[Wenneguen]

A est la matrice d'une application linéaire f dans la base (ei). Donc . Dans une autre base (e'i), f aura une autre matrice B différente de A et on aura:

Pourquoi : " Donc " ? En quoi y a-t-il un lien entre la base et la matrice ? Telle qu'est posée la question, elle me paraissent indépendantes l'une de l'autre (cela dit la matrice A n'est pas vraiment quantifiée).

[mrif]

Pourquoi : " Donc " ? En quoi y a-t-il un lien entre la base et la matrice ? Telle qu'est posée la question, elle me paraissent indépendantes l'une de l'autre (cela dit la matrice A n'est pas vraiment quantifiée).

Une matrice est toujours définie par rapport à une base comme un vecteur. Elle ne peut avoir la même expression dans 2 bases différentes.

[Wenneguen]

Une matrice est toujours définie par rapport à une base ? :hein: Une matrice c'est juste un tableau de nombres, non ?

[mrif]

Une matrice est toujours définie par rapport à une base ? :hein: Une matrice c'est juste un tableau de nombres, non ?

Oui en général une matrice est un tableau, mais dans ton exercice on parle de vecteurs et de base donc A est la matrice d'une application linéaire par rapport à la base (ei).

Essaie de remplacer ton énoncé par celui là:
Etant donnés une application f de R^n dans R^n, (ei) une base orthonormée de R^n et A la matrice de f dans cette base, montrer que pour toute base (ei), tr(A) = ....

[jlb]

A est la matrice dans la base orthonormée associée (ai) représente un endo f

dans une base (ei) orthonormée, f a pour matrice B=P-1AP où P est la matrice orthogonale de changement de bases orthonormées ( matrice de passage de (ei) à (ai))

tr(B)=somme(surj) =tr(P-1AP)=tr(AP-1P)=tr(A.I)=tr(A)

après il faut savoir que tr(MN)=tr(NM)

[Wenneguen]

Ok merci ça me parle plus, mais pourquoi tr(B)=somme(surj) ?
Si j'ai bien compris, A = (ai) et (ei) est une base orthonormée quelconque ?

[Wenneguen]

Désolé mais je ne suis pas convaincu, pour moi la matrice A et la base (ei) sont complètement indépendantes et le choix de l'une n'a pas d'incidence sur l'autre (il me semble)

[Wenneguen]

Oui ok A est la matrice d'une certaine application linéaire f par rapport à la base (ei).
Tu maintiens qu'on a forcément ?

[wserdx]

Regarde ce que vaut la diagonale de la matrice où les vecteurs colonnes de sont les vecteurs de base. Il suffit ensuite d'utiliser car si est orthonormée

[skwouale]

Si je prends et par exemple, je vois pas pourquoi on aurait .
A moins que j'ai vraiment du mal et que je dise n'importe quoi ? :hum: Si c'est le cas je veux bien qu'on me détaille un peu plus la chose :we:

pour te convaincre, prenons e1 = ton vecteur
e2= un vecteur perpendiculaire unitaire, par exemple (2,-1,0)/racine(5)
e3 ton troisième vecteur =e1^e2, (3,6,-5) /racine(30) pour former ta base orthonormée.

et fais le calcul de ++

est c ebien indépendant de la matrice et de la base orthonormée comme tu le dis, plutot dépendant comme le dit mirf ? :happy2:

[jlb]

on note (fi) la base canonique dans laquelle A représente un endo g

dans la base orthonormée (ei), on calcule


somme(j=1àn)= somme(j=1àn) < A.somme(k=1àn)Pkj.fk , somme(l=1àn)Plj.fl >

où (Pst) est la matrice de passage entre les bases orthonormée (fi) à (ei)

on a donc


somme(j=1àn) [somme(k=1àn).somme(l=1àn) (Pkj.Plj .< Afk,fl >)]

par linéarité de A et bilinéraité du produit scalaire

or =somme(t=1àn) < Atk.ft , fl >= Alk


d'où

somme(j=1àn)[somme(l=1àn) Plj.somme(k=1àn).Pkj.Alk]


somme(j=1àn)[somme(l=1àn) Plj.(A.P)lj]=somme(j=1àn)[tP.A.P]jj=tr(tP.A.P)=tr(A)


car P est orthogonale (tP=P-1 ( matrice de passage entre base orthonormée) et tr(MN)=tr(NM).

cela a l'air de fonctionner, mais bon courage pour relire :zen:

[Wenneguen]

pour te convaincre, prenons e1 = ton vecteur
e2= un vecteur perpendiculaire unitaire, par exemple (2,-1,0)/racine(5)
e3 ton troisième vecteur =e1^e2, (3,6,-5) /racine(30) pour former ta base orthonormée.

et fais le calcul de ++

est c ebien indépendant de la matrice et de la base orthonormée comme tu le dis, plutot dépendant comme le dit mirf ? :happy2:

Je n'ai pas fait le calcul, mais je n'ai jamais dit que ++ était indépendant de la matrice et de la base orthonormée... J'ai dit que la matrice et la base orthonormée étaient indépendantes.