Produit scalaire et norme

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MC91
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produit scalaire et norme

par MC91 » 17 Avr 2015, 13:00

Bonjour,

J'essaie en ce moment de combler mes lacunes sur tout ce qui concerne le produit scalaire et les normes.
Je sais que toutes les normes ne proviennent pas d'un produit scalaire, mais j'aurai besoin d'exemples pour m'en convaincre.
La norme 2 est issue du produit scalaire, mais qu'en est-il de la norme 1? Et de la norme infinie?

Merci pour vos réponses!!



L.A.
Membre Irrationnel
Messages: 1709
Enregistré le: 09 Aoû 2008, 18:21

par L.A. » 17 Avr 2015, 13:39

Bonjour,

la norme 1 et la norme infinie ne sont pas issues d'un produit scalaire (sauf en dimension 1). C'est assez simple à voir puisque ces normes ne vérifient pas l'identité du parallélogramme

||x+y||^2 + ||x-y||^2 = 2||x||^2 + 2||y||^2

(je te laisse trouver des contre-exemples).

Ca peut aussi se voir géométriquement. Je crois (mais c'est à vérifier) que le groupe des isométries agit transitivement sur la sphère unité lorsque la norme est euclidienne et pas dans les autres cas. Autrement dit tout point d'un cercle peut s'envoyer sur tout autre point par une isométrie qui préserve le cercle, tandis qu'avec un carré ce n'est pas toujours possible.

Edit : si tu as une norme euclidienne et deux points x,y sur la sphère unité, tu peux trouver une base orthonormée (e_1,...,e_n) telle que x,y appartiennent à Vect(e_1,e_2), du coup tu appliques une rotation qui envoie x sur y dans Vect(e_1,e_2) et tu laisses fixe e_3,...,e_n.

MC91
Membre Relatif
Messages: 205
Enregistré le: 04 Juin 2012, 12:27

par MC91 » 20 Avr 2015, 20:55

L.A. a écrit:Bonjour,

la norme 1 et la norme infinie ne sont pas issues d'un produit scalaire (sauf en dimension 1). C'est assez simple à voir puisque ces normes ne vérifient pas l'identité du parallélogramme

||x+y||^2 + ||x-y||^2 = 2||x||^2 + 2||y||^2

(je te laisse trouver des contre-exemples).

Ca peut aussi se voir géométriquement. Je crois (mais c'est à vérifier) que le groupe des isométries agit transitivement sur la sphère unité lorsque la norme est euclidienne et pas dans les autres cas. Autrement dit tout point d'un cercle peut s'envoyer sur tout autre point par une isométrie qui préserve le cercle, tandis qu'avec un carré ce n'est pas toujours possible.

Edit : si tu as une norme euclidienne et deux points x,y sur la sphère unité, tu peux trouver une base orthonormée (e_1,...,e_n) telle que x,y appartiennent à Vect(e_1,e_2), du coup tu appliques une rotation qui envoie x sur y dans Vect(e_1,e_2) et tu laisses fixe e_3,...,e_n.


Merci beaucoup! Cette réponse a permis de clarifier les choses pour moi.

 

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