Produit scalaire

par **mehdi-128** » 16 Mai 2007, 15:09

Bonjour je bloque complètement sur cet exercice malgré de vaines tentatives:

Soit E un espace euclidien réel de dimension n>=3 et a,b 2 vecteurs orthogonaux non nuls.

Soit: u(x)=(a/x)b-(b/x)a
Montrer que: u appartient à A(E) l'ensemble des endomorphismes
antisymétriques.

Ensuite on pose e1=a/N(a) , e2=b/N(b) ou N designe la norme euclidienne.
On complete cette famille pour avoir une base orthonormée de E.

Ecrire la matrice de u ds cette base.
Je n'est réussi qu'a écrire les 2 premieres colonnes en calculant u(e1), u(e2)..... :marteau:

par **Aspx** » 16 Mai 2007, 15:24

Ben déjà u apparemment c'est un endomorphisme donc dire que u est une matrice c'est bizarre... Tu parles peut être de sa matrice associée dans la base canonique ?

par **mehdi-128** » 16 Mai 2007, 15:42

OUI c'est ca,la matrice relative a u dans la base orthonormée (e1,......,en).

par **Aspx** » 16 Mai 2007, 16:01

Ok donc tu considère une base de E (il en possède une car de dimension finie). D'après le principe d'orthonormalisation on peut même en obtenir une orthonormée que l'on notera

Ensuite on va décomposer a et b suivant cette base.

Ensuite on prend i et j dans [1...n] et on considère

et

.

Comme notre base est orthonormée

. Cherchons la coordonnée sur uj de ce vecteur. Elle vaut

. Quand tu cherche la coordonnée sur ui de

tu va trouver exactement l'opposé. Cela montre bien que u est antisymétrique.

par **mehdi-128** » 16 Mai 2007, 16:10

ah exact merci beaucoup pour l'idée.
Et pour écrire la matrice?

par **Aspx** » 16 Mai 2007, 16:22

Que des zéros sauf le carré en haut à gauche
0 -N(a)
N(b) 0

par **mehdi-128** » 16 Mai 2007, 16:25

je comprends pour les 2 premieres colonne j'ai calculé u(e1) et u(e2).
Ca me donne:

u(e1)=N(a)*N(b)e2
u(e2)=-N(b)*N(a)e1

Mais comment trouver les autres colonnes ?Comment sais tu que les autres colonnes sont toutes nulles?

par **Aspx** » 16 Mai 2007, 16:39

Les autres sont nulles car pour i>=3 (a|ei)=0 et (b|ei)=0 car a et b s'expriment en fct de e1 et e2, orthogonaux à ei.

par **mehdi-128** » 16 Mai 2007, 17:04

Ah ok merci beaucoup pour ces explications.

par **fahr451** » 16 Mai 2007, 17:43

pour u antisymétrique on peut le faire directement

pour x et y quelconques

( u(x) /y ) = ( a/x) ( b/y) - (b/x) ( a/y) et si on échange x et y on a visiblement l'opposé.

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