Produit scalaire

[Aispor]

Bonjours,
j'ai une petit question pour laquelle j'ai un petit doute sur un exercice ^^
le voici :


Pour la dernière question, je dirais que par l'identité de polarisation, à toute norme on peut associer un produit scalaire. Donc la réponse serait oui.
Est-ce vrai ?
Cordialement =)

[Ben314]

Salut,

Est-ce vrai ?

Ben.. y'a qu'à essayer...
Dans le cas où , si cette norme était issue d'un produit scalaire, les identités de polarisations te donnerais comme produit scalaire :

Et tu as juste à regarder si effectivement le bidule est bien un produit scalaire (i.e. une forme bilinéaire symétrique définie positive).

ENSUITE (et uniquement ensuite), tu ira relire ton cours...

[Elias]

Salut,

Qu'as tu trouvé pour la question 1?

Ça s'appelle l'identité du parallélogramme.

Tu devrais pouvoir montrer facilement que :
"si une norme provient d'un produit scalaire, alors elle doit vérifier l'identité du parallélogramme".
Du coup, la contraposée (qui devrait t'aider) nous dit "si une norme ne vérifie pas l'identité du parallélogramme, alors elle ne peut pas provenir d'un produit scalaire".


Pour info, c'est même une equivalence :

une norme provient d'un produit scalaire si et seulement si elle vérifie l'identité du parallélogramme.
Ça s'appelle le théorème de théorème de Fréchet-Von Neumann-Jordan.

[Aispor]

Tout d'abord merci à vous deux !
Pour la question 1 j'ai donc trouver un contre exemple avec (1,0) et (0,1), qui donne 2=4

Du coup Trident j'ai trouver un contre exemple aussi pour la 2
Ce qui me donne, Ben, que si elle provenait d'un produit scalaire,
Alors < x|y > = 0.25 [ ||x+y||² - ||x-y||² ]
et donc < (10,0) | (-10,0) > est négatif.
Donc on a pas la positivité et cette norme n'est pas issus d'un produit scalaire.

J'espère être convaincant xD

[Ben314]

Alors < x|y > = 0.25 [ ||x+y||² - ||x-y||² ]
et donc < (10,0) | (-10,0) > est négatif.
Donc on a pas la positivité et cette norme n'est pas issus d'un produit scalaire.

Heu......... tu es sûr d'avoir ne serait ce vaguement compris ce que c'était un produit scalaire ?

Un "léger" rappel : quand tu as une forme bilinéaire sur E, dire que cette forme est "positive" [respectivement "définie positive"], ça signifie que pour tout X de E [respectivement que pour tout X non nul de E].
Et ça ne signifie sûrement pas que pour tout X,Y de E ne serait ce que du fait que sont systématiquement de signe opposés (par linéarité).

Donc là, que ton soit négatif, ben ça prouve absolument rien du tout.

Et de façon générale, si partant d'une norme quelconque (provenant d'un produit scalaire ou pas), tu pose alors, par définition, tu va avoir pour tout X non nul donc c'est clairement pas du coté de la positivité de que ça risque de déconner (ce qui déconne, si ça déconne, c'est forcément la linéarité)

Bref, ici, pour montrer que ça déconne, tu peut par exemple prendre X=(2,1) et Y=(0,1) qui donne

[Aispor]

Ah oui merci de m'avoir corrigé Ben !
Je note pour la prochaine fois
Merci Beaucoup !