Salut,
Quand c'est possible, pour ce genre de calculs, on a intérêt à se placer dans une base orthonormée de l'espace euclidien E pour simplifier.
Dans le cas de
muni du produit scalaire
Q(t)\,dt)
, la base orthonormée "classique" (qui s'obtient en appliquant Gramm-Schmidt à la base non orthonormée
) est celle formée des polynômes de Legendre associés à [0,1], c'est à dire la famille
où
 \,<br />=\, \frac{\sqrt{2k+1}}{k!}\,\frac{\partial^k}{\partial X^k}\Big[ \big(X(1-X)\big)^k\Big]\,<br />=\, \frac{\sqrt{2k+1}}{k!}\, \frac{\partial^k}{\partial X^k}\Big[\sum_{i=0}^k(-1)^i{k\choose i}X^{k+i}\Big]\,<br />=\, \sqrt{2k+1}\, \sum_{i=0}^k(-1)^i{k\choose i}{k+i\choose i}X^i)
Remarque : Si tu n'as jamais vu cette famille, tu peut trés facilement vérifier que c'est une base orthonormée de
en commençant par montrer (en utilisant des intégrations par parties) que, pour tout polynôme Q,
^k\,\frac{\sqrt{2k+1}}{k!}\,\int_0^1\big((t(1-t)\big)^k\,Q^{(k)}(t)\,dt)
.
Chercher
tel que, pour tout Q de
, on ait
)
revient (par linéarité) à chercher
tel que
)
pour tout
et, vu que la base
est orthonormé, ces conditions signifient trés exactement que
.E_0+E_1(0).E_1+...+E_n(0).E_n)
.
Pour que ce ne soit pas moi qui fassse tout le travail, je te laisse calculer
)
et regarder si l'expresion de
ci dessus peut se simplifier...
Concernant tes "conjectures", on peut effectivement déduire de
que :
1)
=(n+1)^2)
2)
)
est à coeff entiers
3) En utilisant la formule
^{(n)}=...)
on peut écrire
différement et montrer que
=(-1)^n(n+1))
ce qui montre que la somme des coeffs de
vaut
^n)
4) Concernant le fait que
est à coeff entiers, ça me semble vrai, mais je vois pas de raison "immédiate"...
