Produit scalaire

par **barbu23** » 11 Mar 2010, 14:55

Bonjour : :happy3:
Quelle difference y'a-t-il entre un produit scalaire et un tenseur metrique ? :happy3:
Est ce que toute forme bilineaire est un tenseur metrique, et tout tenseur metrique est une forme bilinéaire ?
Merci d'avance ! :happy3:

par **Nightmare** » 11 Mar 2010, 15:15

As-tu réfléchis un peu à ces questions? Si oui, peux-tu dire ce que tu en penses? Ici, c'est juste une question de définition... Les définitions du produit scalaire et du tenseur métrique te paraissent-elles les même?

par **barbu23** » 11 Mar 2010, 18:37

Un peorduit scalaire et un tenseur metrique sont évidemement des cas particuliers de formes bilinéaires. :happy3:
Maintenant pour la difference entre un produit scalaire et un tenseur metrique ( je ne sais pas trop :happy3: )
Soit

un

- espae vectoriel de dimension finie.
Par définition :
On appelle produit scalaire sur

, toute forme bilinéaire

:
1. symétrique : pour tout couple :

:

2. positive : pour tout élément

:

3. definie :

:

Par definition :
On appelle tenseur metrique sur

, toute forme bilinéaire

:
1. symétrique : pour tout couple :

:

2. non degenerée : pour tout élément

:

3. definie :

:

Ben là, je ne vois aucune differene entre un produit scalaire et un tenseur metrique. :happy3:

par **Doraki** » 11 Mar 2010, 18:54

Pourtant, les 2ème points des définitions me semblent sensiblement différents o_o

par **barbu23** » 11 Mar 2010, 19:02

Oui, il y'a une petite difference, mais ça me dit rien ! :happy3:
ça veut dire quoi non degenerée par rapport à positive ? :hein:

par **Doraki** » 11 Mar 2010, 19:10

exemple bidon de tenseur qui n'est pas un produit scalaire :
E = R ;
= -xy.

(en supposant que t'aies mis les bonnes définitions)

par **Ben314** » 11 Mar 2010, 19:11

Tu vérifiera que : "définie positive" implique "non dégénérée" mais que la réciproque est fausse.

Certain manuels prennent d'ailleurs comme définition :
1) Soit "définie positive" (en un seul coup) comme signifiant f(u,u)>0 pour tout u non nul
2) Soit "produit scalaire" = "symétrique" + "non dégénérée" + "positive"

par **barbu23** » 11 Mar 2010, 19:12

Doraki a écrit:
(en supposant que t'aies mis les bonnes définitions)

Je ne sais pas, au pif, j'ai juste recopié les énoncé à partir d'un lien internet :doh:

par **barbu23** » 11 Mar 2010, 19:17

Ben314 a écrit:Tu vérifiera que : "définie positive" implique "non dégénérée" mais que la réciproque est fausse.

Certain manuels prennent d'ailleurs comme définition :
1) Soit "définie positive" (en un seul coup) comme signifiant f(u,u)>0 pour tout u non nul
2) Soit "produit scalaire" = "symétrique" + "non dégénérée" + "positive"

Ah d'accord, merci ! :happy3:
Parceque, pour le produit sclaire, il est definie positive, c'est à dire, il est defini + positive.
Par contre, pour un tenseur metrique, il est simplement defini, c'est à dire, ou bien il est defini positive, ou bien il est definie negative ...
Donc, Synthèse :
Un produit scalaire est un tenseur metrique, par contre, un tenseur metrique n'est pas forcement un produit scalaire ! :happy3:

par **Ben314** » 11 Mar 2010, 19:21

Avec TA définition, oui,
Sauf que la définition de Wikipédia n'est pas la même que toi...
Ta définition coïncide plutôt avec la notion de tenseur pseudo-métrique.

par **barbu23** » 11 Mar 2010, 19:22

ça c'est un tenseur metrique ( définie négatif ) donc, c'est pas un produit scalaire :

ça c'est un tenseur metrique ( ni définie négatif , ni definie positif )

Je ne sais pas où le classer ! :doh:
Connaissez vous un exemple de tenseur metrique non degenerée ? :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

par **barbu23** » 11 Mar 2010, 19:27

Ben314 a écrit:"produit scalaire" = "symétrique" + "non dégénérée" + "positive"

Donc : :happy3:
"produit scalaire" = "symétrique" + "non dégénérée" + "positive"
"tenseur metrique" = "symétrique" + "non dégénérée" + "positive + "definie"
:happy3:

par **barbu23** » 11 Mar 2010, 19:33

non voiçi ce que je trouve sur wikipedia :
par ici :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_scalaire
"produit scalaire" = symetrique + definie + positive
:happy3:

par **barbu23** » 11 Mar 2010, 19:35

Donc :
"produit scalaire" = "symétrique" + "definie" + "positive"
"tenseur metrique" = "symétrique" + "definie" + "positive" + "non dégénérée" .

ça veux dire quoi , "degenerée", "non degenerée " ?
Connaissez vous un exemple de matrice non degenerée ?
Un produti scalaire est donc, degenerée ?
:happy3:

par **barbu23** » 11 Mar 2010, 19:54

Voiçi, une matrice degenerée : :happy3:

Voiçi, une matrice non degenerée : :happy3:

Une matrice est degenerée si et seulement si son determinant est nul. :happy3:

par **Ben314** » 11 Mar 2010, 19:54

Pour la définition de "non dégénérée", tu l'as mis dans ton premier post.
Et, évidement, "dégénéré" veut dire non "non dégénéré"... :doh:
En dimension finie, dire qu'une forme bilinéaire est non dégénéré signifie que sa matrice (dans toute base) est inversible.

Pour les liens entre ces notions, je t'inciterais vivement à faire la preuve que, pour une forme bilinéaire symétrique, on a :
"défini"+"positive" <=> "non dégénérée"+"positive".
Un sens est évident, l'autre... un peu moins.

par **barbu23** » 11 Mar 2010, 20:03

"défini"+"positive" , je ne sais pas :hum:
Par hypothèse :

Soit

avec :

:
Pourquoi :

:doh:

:hum:

par **barbu23** » 11 Mar 2010, 20:19

Donc, un tenseur metrique est un cas particulier de produit scalaire, ou la matrice associée est inversible, ce qui veut dire qu'en general un produit scalaire a pour matrice associée, non necessairement inversible ( j'ai du mal à comprendre ça :
Par exemple

definit elle un produit scalaire ? :doh:

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