[MPSI] Problèmes suites du type un+1=f(un)

[Majaspique]

Bonjour,
j'ai du mal à résoudre ce problème sur les suites définies par récurrence :

Les questions où j'ai encore besoin d'aide sont en rouge, celles qui ont déjà été résolues sont en noires

L'objet de cet exercice est l'étude des suites définies par une récurrence du type pour tout entier naturel n, f étant une fonction définie sur un intervalle J de .

1. Propriétés générales.
(a) Soit I un intervalle tel que I inclus dans J. Montrer que si I est un intervalle stable par f et si et sont dans I alors pour tout n dans ,

Recherches :
On suppose donc I un intervalle stable par f, donc . On suppose également .
Montrons que :
donc
On pourrait ensuite essayer de montrer que càd : donc puis faire une récurrence. Mais je ne vois pas comment initialiser la propriété car rien ne prouve que . Pourrait-on faire autrement ?

(b). Montrer que si I est un intervalle stable par f, si f est croissante sur I, et si et vérifient alors la suite (un) est décroissante.

Recherches :
J'essaye d'utiliser le théorème suivant :
Soit f de I dans I croissante. Toute suite (un)n∈N associée à f est alors monotone. Plus précisément, si u0≤u1, la suite est croissante ; si u1≤u0, la suite est décroissante

(c). Montrer que si alors pour tout n dans

Recherches :
On suppose . Montrons que .
On initialise la propriété :
pour n = 0, on a :
donc
On vérifie l'hérédité :
supposons qu'à un certain rang n, montrons qu'au rang n+1 la propriété est vérifiée :

Donc la propriété est vraie au rang n+1
Conclusion :
La propriété est initialisée et héréditaire, donc vraie.

On s'intéresse maintenant au cas où f est donné par f : x ->

3. Étude générale de la suite définie par :

(a) Montrer que [0;1] est stable par f :

Recherches :
On pose I = [0;1].

Puisque la fonction sinus est croissante sur [0;1] et que alors f(I) inclus dans I.
Donc I est stable par f.

On suppose désormais que u0 et u1 sont dans [0,1].

(b) Justifier que

Recherches :
On sait que, comme f est stable sur I, u0 et u1 sont éléments de I, alors d'après la Q1.a, est élément de I pour tout n élément de .
À partir de là, j'ai essayé de travailler sur l'inégalité mais ça n'a pas aboutit.
De même avec des formules de trigo.

(c) En déduire la limite de

Recherches :

On sait que
On peut essayer de raisonner par l'absurde :
(si la limite est 0 alors ça colle)
si la limite est 1 alors on obtient 1 < <=> 1 < ce qui est absurde. Il faudrait alors le prouver pour la limite l tq 0<l<1. J'ignore si c'est la bonne méthode.

4. Étude d'un cas particulier.
On suppose toujours que , et on suppose de plus que .

(a) Justifier que pour tout entier naturel n,

Recherches :
On a :
Donc d'après la question 1. (c)

(b) Justifier que () est décroissante, de limite nulle.

Recherches :
* décroissante :
On a :
[0;1] est un intervalle stable par f d'après 3. (a)
f est croissante sur [0;1] car la fonction sinus est croissante sur [0;1]

Donc tels que .
Donc d'après la question 1. (b), la suite est décroissante.
* de limite nulle :
D'après la question 3. (c), la limite de est 0

(c) Montrer que pour tout , il existe tel que pour tout

Je n'ai pas encore trouvé de pistes pour cette question

Pourriez-vous m'aider ? Merci.

[Ben314]

Salut,

Mais je ne vois pas comment initialiser la propriété car rien ne prouve que .
Pourrait-on faire autrement ?

Déjà, je suis pas sûr qu'il y ait bien moyen de faire autrement.
Ensuite, vu que tu sait déjà que et sont dans , le truc dont tu as besoin, c'est de montrer que si deux réels et sont dans alors est lui aussi dans . Et c'est évidement vrai vu que est un intervalle ce qui implique que, s'il contient et alors il contient aussi tout le segment d'extrémité et donc en particulier le milieu de ce segment, à savoir .
Tu peut éventuellement le démontrer "par du calcul" en considérant par exemple les cas où , mais à mon avis, un simple argument "de bon sens" est largement suffisant.

(b). Montrer que si I est un intervalle stable par f, si f est croissante sur I, et si et vérifient alors la suite (un) est décroissante.

Vu la croissance de , pour montrer que est à , il suffit de montrer que . Or c'est évidement vrai vu que et que (car ).
Et évidement, ça marche tout pareil pour ; . . . etc
Et si on le sent pas trop d'écrire que "ça marche tout pareil", on peut rédiger à l'aide d'une récurrence, mais ça sera que du "blablabla" pour pas grand chose vu que ce sera de la recopie pure et dure du cas .

Sinon, pour le (c) c'est O.K. sauf éventuellement l'initialisation où ce que tu doit vérifier, c'est plutôt que (ce qui est vrai par hypothèse) et pas que .
Et comme conclusion, j'aurais plutôt écrit que :
La propriété est initialisée et héréditaire, donc vraie pour tout entier n.

[Majaspique]

Merci

Vu que tu sait déjà que et sont dans , le truc dont tu as besoin, c'est de montrer que si deux réels et sont dans alors est lui aussi dans . Et c'est évidement vrai vu que est un intervalle ce qui implique que, s'il contient et alors il contient aussi tout le segment d'extrémité et donc en particulier le milieu de ce segment, à savoir .
Tu peut éventuellement le démontrer "par du calcul" en considérant par exemple les cas où , mais à mon avis, un simple argument "de bon sens" est largement suffisant.

Donc il suffit que je dise : (car et f stable sur I) donc, puisque I est un intervalle, donc car f est stable sur I ?

Et si on le sent pas trop d'écrire que "ça marche tout pareil", on peut rédiger à l'aide d'une récurrence, mais ça sera que du "blablabla" pour pas grand chose vu que ce sera de la recopie pure et dure du cas .

Merci, je pense que je vais faire une récurrence puisqu'en DM, je suis censé avoir le temps.

Sinon, pour le (c) c'est O.K. sauf éventuellement l'initialisation où ce que tu doit vérifier, c'est plutôt que (ce qui est vrai par hypothèse) et pas que

Ducoup je laisse juste l'hypothèse dans l'initialisation ? Et dans l'hérédité, je montre la propriété vraie au rang n+2 et je suppose la propriété vraie au rang n+1 dans ce cas?

[Majaspique]

Voici la suite du problème :

On s'intéresse maintenant au cas où f est donné par f : x ->

3. Étude générale de la suite définie par :

(a) Montrer que [0;1] est stable par f :

Recherches :
On pose I = [0;1].

Puisque la fonction sinus est croissante sur [0;1] et que alors f(I) inclus dans I.
Donc I est stable par f.

On suppose désormais que u0 et u1 sont dans [0,1].

(b) Justifier que

Recherches :
On sait que, comme f est stable sur I, u0 et u1 sont éléments de I, alors d'après la Q1.a, est élément de I pour tout n élément de .
À partir de là, j'ai essayé de travailler sur l'inégalité mais ça n'a pas aboutit.
De même avec des formules de trigo.

(c) En déduire la limite de

Recherches :

On sait que
On peut essayer de raisonner par l'absurde :
(si la limite est 0 alors ça colle)
si la limite est 1 alors on obtient 1 < <=> 1 < ce qui est absurde. Il faudrait alors le prouver pour la limite l tq 0<l<1. J'ignore si c'est la bonne méthode.

Merci d'avance pour votre aide
J'ai edit le premier post

[Ben314]

Ducoup je laisse juste l'hypothèse dans l'initialisation ? Et dans l'hérédité, je montre la propriété vraie au rang n+2 et je suppose la propriété vraie au rang n+1 dans ce cas?

Je sais pas trop ce que tu bricole avec tes n+1 et n+2 : A mon sens, ce que tu écrit, c'est une récurrence on ne peut plus "normale et classique :
- Initialisation : Pour n=0, on a bien (par hypothèse).
- Hérédité : Si pour un certain entier on a alors .

(b) Justifier que

Et écrit sous cette forme, on voit immédiatement qu'il suffit de montrer que pour tout .

On peut essayer de raisonner par l'absurde :
(si la limite est 0 alors ça colle)
si la limite est 1 alors on obtient 1 < <=> 1 < ce qui est absurde. Il faudrait alors le prouver pour la limite l tq 0<l<1. J'ignore si c'est la bonne méthode.

NON, "que ça", c'est pas du tout la bonne méthode vu que tu fait comme s'il était évident que la limite existe alors que dans ce type d'exo. avec une suite définie par récurrence, la difficulté, c'est pas du tout de déterminer la limite, mais de montrer qu'elle existe.
Par exemple ici, si on suppose que la limite existe, en la notant , l'inégalité de la question précédente implique (par passage à la limite) que donc que et, vu que (car pour tout ), ça implique immédiatement que . Bref, la valeur de la limite, si elle existe, c'est pas ça le problème.
Et vu la formule du (b) avec , pour montrer que la limite existe (et qu'elle vaut 0 bien sûr) ça parait plus que normal de comparer la suite avec une suite géométrique. Et ça conduit bien évidement à la question suivante : Quelle valeur prendre pour et de façon à pouvoir montrer (par récurrence évidement) que pour tout ?
Remarque : On pourrait aussi essayer de montrer que la suite est décroissante à partir d'un certain rang pour justifier que la limite existe. J'ai pas regardé si c'était facile où pas vu que la comparaison avec une suite géométrique, perso. c'est le truc qui "me saute aux yeux" dans un cas pareil.

[Majaspique]

Merci pour ta réponse encore une fois !
Je te donne la dernière partie et mes recherches (et j'édit le post initial):

4. Étude d'un cas particulier.
On suppose toujours que , et on suppose de plus que .

(a) Justifier que pour tout entier naturel n,

Recherches :
On a :
Donc d'après la question 1. (c)

(b) Justifier que () est décroissante, de limite nulle.

Recherches :
* décroissante :
On a :
[0;1] est un intervalle stable par f d'après 3. (a)
f est croissante sur [0;1] car la fonction sinus est croissante sur [0;1]

Donc tels que .
Donc d'après la question 1. (b), la suite est décroissante.
* de limite nulle :
D'après la question 3. (c), la limite de est 0

(c) Montrer que pour tout , il existe tel que pour tout

Je n'ai pas encore trouvé de pistes pour cette question

Merci d'avance pour votre aide.