[MPSI MPSI] SERIE FORMELLE

[Anonyme]

(P 350) Bonjour à la communauté des mathématiciens (iennes) Pouvez
vous m'aidez à resoudre ce probleme , je vous en remercie par avance
et à bientot

Réversion d'une série formelle
Soit S = (somme n >= 1) a_n X^n appart K[[X]] unje serie formelle de
valuation >=1
a) Montrer que pour qu'il existe T apprt K[[X]] telle que ToS = X il
faut et il suffit que val(S) =1 et qu'alors T est unique

Je vous en remercie par avance et à bientot ...

[Anonyme]

Salut,

dominique wrote:

> (P 350) Bonjour à la communauté des mathématiciens (iennes) Pouvez
> vous m'aidez à resoudre ce probleme , je vous en remercie par avance
> et à bientot
>
> Réversion d'une série formelle
> Soit S = (somme n >= 1) a_n X^n appart K[[X]] unje serie formelle de
> valuation >=1
> a) Montrer que pour qu'il existe T apprt K[[X]] telle que ToS = X il
> faut et il suffit que val(S) =1 et qu'alors T est unique


Voici une indication (pas la réponse):
i) Montre qu'il existe T\in K[[X]] telle que SoT=Id.
ii) A partir de la construction precedente, montre qu'il existe S1\in
K[[X]] telle que ToS1=Id.
iii) Montre que S1=S.


> Je vous en remercie par avance et à bientot ...
>


Pas de quoi.

Calixte

[Anonyme]

"dominique" a écrit dans le message de news:
82314f4.0406230358.15eb5676@posting.google.com...
> (P 350) Bonjour à la communauté des mathématiciens (iennes) Pouvez
> vous m'aidez à resoudre ce probleme , je vous en remercie par avance
> et à bientot
>
> Réversion d'une série formelle
> Soit S = (somme n >= 1) a_n X^n appart K[[X]] unje serie formelle de
> valuation >=1
> a) Montrer que pour qu'il existe T apprt K[[X]] telle que ToS = X il
> faut et il suffit que val(S) =1 et qu'alors T est unique

S=a_1*X+a_2*X^2+ ..... et cherchons T=b_0+b_1*X+b_2*X^2+..... telle que
ToS=Id
Par définition de la composition dans les séries formelles, tu as
b_0+b_1*S+b_2*S^2+....=X
Puisque la valuation de S est 1 (a_10), on en déduit que la valuation de
S^n est n
Ainsi, le coefficient constant du membre de gauche est b_0 et celui de
droite 0 donc b_0=0 et T=b_1*X+b_2*X^2+.....
Le coefficient de degré 1 de T=b_1*S+b_2*S^2+..... est celui de b_1*S (car
tous les S^k n'ont que des termes de degré >=2 si k>=2) donc il s'agit de
a_1*b_1 et celui de droite est 1 donc a_1*b_1=1 donc b_10, ce qui implique
que la valuation de T est 1.
Le coefficient de degré 2 de T=b_1*S+b_2*S^2+..... est le coefficient de
degré 2 de b_1*S+b_2*S^2
De façon évidente, le coefficient de degré 2 de b_1*S est b_1*a_2 et celui
de b_2*S^2 est b_2*(a_1)^2 donc le coefficient de degré 2 de T est
b_1*a_2+b_2*(a_1)^2 et celui de X est 0 donc
b_1*a_2+b_2*(a_1)^2 =0. a_1 étant non nul et puisque nous connaissons
b_1,b_2 et a_1 (b_1*a_1=1), on en déduit que b_2=-(b_1*a_2)/(a_1)^2
Tu poursuis ainsi de proche en proche : le coeff de degré k de T est celui
de b_1*S+...+b_k*S^k, le coefficient de degré k de S^q dépend uniquement des
a_1,..,a_(k-1) si q<k (inutile de les calculer mais si tu le souhaites tu
utilises la formule du binôme généralisé) et le coefficient de degré k de
S^k est (a_1)^k, tu aboutis à une équation de la forme
F(a_2,..,a_k,b_1,..,b_(k-1))=b_k*(a_1)^k) (le membre de gauche étant issu du
coefficient de degré k de b_1*S+...+b_(k-1)*S^(k-1) et le membre de droite
du coefficient de degré k de b_k*S^k)

Tu en déduis ainsi que les b_k existent et qu'ils sont uniques (par
récurrence, si b_1=b'_1 alors b_k=b'_k car ils satisfonts à une formule
récurrente identique). De là, on obtient l'existence et l'unicité de T

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corrigé du sujet Ecricome 2004 Eco (DS6)
un résumé du cours de phec première année Eco
une bonne centaine d'exercices spé PSI*,MP, MP* avec indications et
corrections
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[Anonyme]

Calixte wrote in message news:...
> Salut,
>
> dominique wrote:
>[color=green]
> > (P 350) Bonjour à la communauté des mathématiciens (iennes) Pouvez
> > vous m'aidez à resoudre ce probleme , je vous en remercie par avance
> > et à bientot
> >
> > Réversion d'une série formelle
> > Soit S = (somme n >= 1) a_n X^n appart K[[X]] unje serie formelle de
> > valuation >=1
> > a) Montrer que pour qu'il existe T apprt K[[X]] telle que ToS = X il
> > faut et il suffit que val(S) =1 et qu'alors T est unique
>
>
> Voici une indication (pas la réponse):
> i) Montre qu'il existe T\in K[[X]] telle que SoT=Id.
> ii) A partir de la construction precedente, montre qu'il existe S1\in
> K[[X]] telle que ToS1=Id.
> iii) Montre que S1=S.
>
>
> > Je vous en remercie par avance et à bientot ...
> >
>
>
> Pas de quoi.
>
> Calixte[/color]

Merci beaucoup à Calixte pour son aide , encore merci.

[Anonyme]

"masterbech" wrote in message news:...
> "dominique" a écrit dans le message de news:
> 82314f4.0406230358.15eb5676@posting.google.com...[color=green]
> > (P 350) Bonjour à la communauté des mathématiciens (iennes) Pouvez
> > vous m'aidez à resoudre ce probleme , je vous en remercie par avance
> > et à bientot
> >
> > Réversion d'une série formelle
> > Soit S = (somme n >= 1) a_n X^n appart K[[X]] unje serie formelle de
> > valuation >=1
> > a) Montrer que pour qu'il existe T apprt K[[X]] telle que ToS = X il
> > faut et il suffit que val(S) =1 et qu'alors T est unique
>
> S=a_1*X+a_2*X^2+ ..... et cherchons T=b_0+b_1*X+b_2*X^2+..... telle que
> ToS=Id
> Par définition de la composition dans les séries formelles, tu as
> b_0+b_1*S+b_2*S^2+....=X
> Puisque la valuation de S est 1 (a_10), on en déduit que la valuation de
> S^n est n
> Ainsi, le coefficient constant du membre de gauche est b_0 et celui de
> droite 0 donc b_0=0 et T=b_1*X+b_2*X^2+.....
> Le coefficient de degré 1 de T=b_1*S+b_2*S^2+..... est celui de b_1*S (car
> tous les S^k n'ont que des termes de degré >=2 si k>=2) donc il s'agit de
> a_1*b_1 et celui de droite est 1 donc a_1*b_1=1 donc b_10, ce qui implique
> que la valuation de T est 1.
> Le coefficient de degré 2 de T=b_1*S+b_2*S^2+..... est le coefficient de
> degré 2 de b_1*S+b_2*S^2
> De façon évidente, le coefficient de degré 2 de b_1*S est b_1*a_2 et celui
> de b_2*S^2 est b_2*(a_1)^2 donc le coefficient de degré 2 de T est
> b_1*a_2+b_2*(a_1)^2 et celui de X est 0 donc
> b_1*a_2+b_2*(a_1)^2 =0. a_1 étant non nul et puisque nous connaissons
> b_1,b_2 et a_1 (b_1*a_1=1), on en déduit que b_2=-(b_1*a_2)/(a_1)^2
> Tu poursuis ainsi de proche en proche : le coeff de degré k de T est celui
> de b_1*S+...+b_k*S^k, le coefficient de degré k de S^q dépend uniquement des
> a_1,..,a_(k-1) si q utilises la formule du binôme généralisé) et le coefficient de degré k de
> S^k est (a_1)^k, tu aboutis à une équation de la forme
> F(a_2,..,a_k,b_1,..,b_(k-1))=b_k*(a_1)^k) (le membre de gauche étant issu du
> coefficient de degré k de b_1*S+...+b_(k-1)*S^(k-1) et le membre de droite
> du coefficient de degré k de b_k*S^k)
>
> Tu en déduis ainsi que les b_k existent et qu'ils sont uniques (par
> récurrence, si b_1=b'_1 alors b_k=b'_k car ils satisfonts à une formule
> récurrente identique). De là, on obtient l'existence et l'unicité de T
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ENcore merci à "masterbech" wrote in message news:...
Pour son interessante etude ... à bientot ...