Bonjour,
j'ai du mal à résoudre ce problème sur les suites définies par récurrence :
Les questions où j'ai encore besoin d'aide sont en rouge, celles qui ont déjà été résolues sont en noires
L'objet de cet exercice est l'étude des suites définies par une récurrence du type pour tout entier naturel n, f étant une fonction définie sur un intervalle J de .
1. Propriétés générales.
(a) Soit I un intervalle tel que I inclus dans J. Montrer que si I est un intervalle stable par f et si et sont dans I alors pour tout n dans ,
Recherches :
On suppose donc I un intervalle stable par f, donc . On suppose également .
Montrons que :
donc
On pourrait ensuite essayer de montrer que càd : donc puis faire une récurrence. Mais je ne vois pas comment initialiser la propriété car rien ne prouve que . Pourrait-on faire autrement ?
(b). Montrer que si I est un intervalle stable par f, si f est croissante sur I, et si et vérifient alors la suite (un) est décroissante.
Recherches :
J'essaye d'utiliser le théorème suivant :
Soit f de I dans I croissante. Toute suite (un)n∈N associée à f est alors monotone. Plus précisément, si u0≤u1, la suite est croissante ; si u1≤u0, la suite est décroissante
(c). Montrer que si alors pour tout n dans
Recherches :
On suppose . Montrons que .
On initialise la propriété :
pour n = 0, on a :
donc
On vérifie l'hérédité :
supposons qu'à un certain rang n, montrons qu'au rang n+1 la propriété est vérifiée :
Donc la propriété est vraie au rang n+1
Conclusion :
La propriété est initialisée et héréditaire, donc vraie.
On s'intéresse maintenant au cas où f est donné par f : x ->
3. Étude générale de la suite définie par :
(a) Montrer que [0;1] est stable par f :
Recherches :
On pose I = [0;1].
Puisque la fonction sinus est croissante sur [0;1] et que alors f(I) inclus dans I.
Donc I est stable par f.
On suppose désormais que u0 et u1 sont dans [0,1].
(b) Justifier que
Recherches :
On sait que, comme f est stable sur I, u0 et u1 sont éléments de I, alors d'après la Q1.a, est élément de I pour tout n élément de .
À partir de là, j'ai essayé de travailler sur l'inégalité mais ça n'a pas aboutit.
De même avec des formules de trigo.
(c) En déduire la limite de
Recherches :
On sait que
On peut essayer de raisonner par l'absurde :
(si la limite est 0 alors ça colle)
si la limite est 1 alors on obtient 1 < <=> 1 < ce qui est absurde. Il faudrait alors le prouver pour la limite l tq 0<l<1. J'ignore si c'est la bonne méthode.
4. Étude d'un cas particulier.
On suppose toujours que , et on suppose de plus que .
(a) Justifier que pour tout entier naturel n,
Recherches :
On a :
Donc d'après la question 1. (c)
(b) Justifier que () est décroissante, de limite nulle.
Recherches :
* décroissante :
On a :
[0;1] est un intervalle stable par f d'après 3. (a)
f est croissante sur [0;1] car la fonction sinus est croissante sur [0;1]
Donc tels que .
Donc d'après la question 1. (b), la suite est décroissante.
* de limite nulle :
D'après la question 3. (c), la limite de est 0
(c) Montrer que pour tout , il existe tel que pour tout
Je n'ai pas encore trouvé de pistes pour cette question
Pourriez-vous m'aider ? Merci.