Problème produit scalaire

par **Mathusalem** » 04 Juil 2010, 21:17

Bonsoir,
Encore un problème qui me maintient éveillé :
Soient,

A1 =

, A2 =

, A3 =

, A4 =

.

Existe-t-il un produit scalaire tel que ||Ak|| = k,

0 < k < 5,
et Ai \perp Aj

0 < i,j < 5, i

j ?

Je sèche.. J'ai essayé Cauchy Schwarz, d'autres propriétés du P.scal, je sèche à chaque fois. Quelqu'un voit-il une piste ?

par **vingtdieux** » 04 Juil 2010, 22:15

A.B donné par Tr (At.B) où At est la transposée de A !

par **Ben314** » 04 Juil 2010, 22:43

Sinon, sans même regarder la tronche des matrices A1,A2,A3,A4 à part pour vérifier que c'est une famille libre (donc une base) de l'ensemble des matrices 2x2, tu peut toujours écrire que, si

et

tu pose

...

par **Doraki** » 04 Juil 2010, 23:43

ton produit scalaire il est sur M2(R) ou sur R² ?

J'ai plutot l'impression qu'en fait tu veux parler de la norme triple
|||M||| = Sup (||Ax||/||x||).

(aussi parceque sinon, tu remplaces M2(R) par R^4 et tu prends le produit scalaire usuel)

par **Mathusalem** » 05 Juil 2010, 06:53

Merci pour vos réponses,
Je vais essayer avec la piste de Ben.
A+
Math

par **vingtdieux** » 05 Juil 2010, 08:54

par **girdav** » 05 Juil 2010, 11:19

vingtdieux a écrit:

Mais par exemple

donc les matrices ne sont pas orthogonales pour ce produit scalaire.

par **vingtdieux** » 05 Juil 2010, 20:08

C'est vrai j'avais shunté la moitié du probleme....

par **Ben314** » 05 Juil 2010, 21:04

Tient, je vient juste de voir que je me suis gourré : si on veut que les normes de A1,A2,A3,A4 soient 1,2,3,4, il faut (bien sûr) prendre

...

par **Mathusalem** » 05 Juil 2010, 22:16

Ben314 a écrit:Tient, je vient juste de voir que je me suis gourré : si on veut que les normes de A1,A2,A3,A4 soient 1,2,3,4, il faut (bien sûr) prendre
...

[/quote]

Oui, j'avais vu la faute. Il y a d'ailleurs eu une question du genre dans mon examen d'aujourd'hui, que j'ai réussi haut la main. Merci bien, Ben

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