Je souhaite démontrer ce problème qui me semble ouvert :
Si
Le démontrer avec la formule de Faà di Bruno par récurrence est un casse
tête... Si vous avez une piste !
Thanks a lot !
Problème ouvert : dérivée nième d'une fonction composée...
13 messages
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problème ouvert : dérivée nième d'une fonction composée...
par zonotope » 18 Nov 2010, 23:48
Bonjour à tous !
Je souhaite démontrer ce problème qui me semble ouvert :
Si)
et )
sont deux fonctions 
fois dérivables telles que ^nf^{(n)} \leq 0, \ \forall n \in \mathbb{N}^*)
et
^ng^{(n)} \leq 0, \ \forall n \in \mathbb{N}^*)
alors ^n(fog)^{(n)} \leq 0, \ \forall n \in \mathbb{N}^*)
Le démontrer avec la formule de Faà di Bruno par récurrence est un casse
tête... Si vous avez une piste !
Thanks a lot !
Je souhaite démontrer ce problème qui me semble ouvert :
Si
Le démontrer avec la formule de Faà di Bruno par récurrence est un casse
tête... Si vous avez une piste !
Thanks a lot !
par bentaarito » 19 Nov 2010, 00:37
bon a mon avis on n'a pas le choix. on doit procéder par récurrence sauf que la dérivée n-ième d'une composition s'annonce chaude
voilà un doc qui pourrait vous aidez.bn chance :ptdr:
http://www.math.ens.fr/culturemath/maths/pdf/analyse/derivation.pdf
voilà un doc qui pourrait vous aidez.bn chance :ptdr:
http://www.math.ens.fr/culturemath/maths/pdf/analyse/derivation.pdf
par arnaud32 » 19 Nov 2010, 09:26
pour n=1 ca se fait assez simplement.
tu le suppose vrai pour tour
.
^{(n+1)} = ((fog)')^{(n)}=(g'*f'og)^{(n)})
tu notes
^{n+1}(fog)^{(n+1)} =(-1)^{n+1}(h*r)^{(n)}=-\sum_{k= 0}^{n}C_n^k[(-1)^{n-k}h^{(n-k)}][(-1)^{k}r^{(k)}])
apres tu dois pouvoir travailler avec ton hyp de recurences sur r et h
tu le suppose vrai pour tour
tu notes
apres tu dois pouvoir travailler avec ton hyp de recurences sur r et h
par zonotope » 23 Nov 2010, 14:45
Bonjour,
merci à tous ceux qui m'ont répondu. Tout d'abord, merci bentaarito, mais je connais déjà ce document. Mon problème, avec la formule de ce document, est que je dois jongler avec les exposant pairs (impairs) et ordre de multiplicitiés pairs (impairs). Pour cela il me faudrait une règle du type "tout nombre pair se décompose en un nombre pair de nombre pair (impair)", et en combinatoire cela n'existe pas, je crois...
--> Pour Doraki : oui les fonctions f et g sont n fois dérivables pour tout entier naturel n (excepté 0).
--> Pour arnaud32: ta formule est belle, mais tu l'as obtenue par induction en regardant ce qui se passe à l'ordre 3 je suppose. De plus je ne retrouve pas les ordres de multiplicités liés à g'. Pour n = 4, elle ne tient pas: car on devrait avoir un terme comme})
...
Si vous avez d'autres pistes...
Merci encore,
Z.
merci à tous ceux qui m'ont répondu. Tout d'abord, merci bentaarito, mais je connais déjà ce document. Mon problème, avec la formule de ce document, est que je dois jongler avec les exposant pairs (impairs) et ordre de multiplicitiés pairs (impairs). Pour cela il me faudrait une règle du type "tout nombre pair se décompose en un nombre pair de nombre pair (impair)", et en combinatoire cela n'existe pas, je crois...
--> Pour Doraki : oui les fonctions f et g sont n fois dérivables pour tout entier naturel n (excepté 0).
--> Pour arnaud32: ta formule est belle, mais tu l'as obtenue par induction en regardant ce qui se passe à l'ordre 3 je suppose. De plus je ne retrouve pas les ordres de multiplicités liés à g'. Pour n = 4, elle ne tient pas: car on devrait avoir un terme comme
Si vous avez d'autres pistes...
Merci encore,
Z.
par arnaud32 » 23 Nov 2010, 14:54
j'ai juste utiliser la formule de leibnitz http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_Leibniz
par zonotope » 23 Nov 2010, 15:19
oui c'est une composante à prendre en compte dans les dérivées successives des fonctions composées, car on a des produits, mais ce n'est pas suffisant. Regarde la formule de Faa di Bruno qui généralise les dérivées successives de fonctions composées :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_Fa%C3%A0_di_Bruno
A+
http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_Fa%C3%A0_di_Bruno
A+
par arnaud32 » 23 Nov 2010, 15:25
que remets tu en cause?
(fog)'=g'*f'og ou la formule de leibnitz.
car je n'ai rien utilise de plus.
(fog)'=g'*f'og ou la formule de leibnitz.
car je n'ai rien utilise de plus.
par zonotope » 23 Nov 2010, 15:51
oui tu as raison, ta substitution est correcte arnaud32, donc on retombe bien à l'ordre 4 sur la forme bien connue. Mais la forme que tu proposes est récursive puisque le problème que je soulève se retrouve à nouveau dans ta formule avec })
. Mes seules hypothèses sont les signes des dérivées successives de f et g. Donc je ne vois pas ce qu'apporte ta formule... faire la démo par la contraposée ?
par arnaud32 » 23 Nov 2010, 16:01
pour tout
(-f') et g verifiient^k(-f')^{(k)} \leq 0)
et ^kg^{(k)} \leq 0)
d'apres l'hyp de recurence tu as donc r=-f'og qui verifie^kr^{(k)} \leq 0)
d'autre part tu as
la fonction h=-g' verifie^kh^{(k)} \leq 0)
donc^pr^{(p)}][(-1)^qh^{(q)} ])
et tu as
donc finalement ^{(n+1)}(fog)^{(n+1)}=(-1)^{(n+1)}(h*r)^{(n)} \leq 0)
(-f') et g verifiient
d'apres l'hyp de recurence tu as donc r=-f'og qui verifie
d'autre part tu as
la fonction h=-g' verifie
donc
et tu as
par arnaud32 » 23 Nov 2010, 16:38
Mis au propre ca donne:
: 
fonctions fois dérivables telles que 
^kf^{(k)} \leq 0)
et
alors ^k(fog)^{(k)} \leq 0, \ \forall k |1\leq k \leq n)
pour n=1 ca se fait assez simplement.
tu le suppose vrai pour tour
.
tu notes
pour tout
(-f') et g verifiient et
d'apres l'hyp de recurence tu as donc r=-f'og qui verifie
tu verifies de plus que cette relation est toujous vraie en k=0
d'autre part tu as
la fonction h=-g' verifie 
donc 
^{n-k}h^{(n-k)}][(-1)^{k}r^{(k)}] \geq 0)
et finalement
^{(n+1)}(fog)^{(n+1)}\leq 0)
pour n=1 ca se fait assez simplement.
tu le suppose vrai pour tour
tu notes
pour tout
(-f') et g verifiient
d'apres l'hyp de recurence tu as donc r=-f'og qui verifie
tu verifies de plus que cette relation est toujous vraie en k=0
d'autre part tu as
la fonction h=-g' verifie
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