Dérivée nieme de Arctan

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busard_des_roseaux
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par busard_des_roseaux » 01 Avr 2008, 23:35

Maxmau a écrit:bonjour je n'ai pas tout suivi
une simple remarque

La formule ci- dessus ne se démontre-t-elle pas facilement par une récurrence en dérivant par rapport à y (et non par rapport à x) pour passer de n à (n+1) ?



On peut la dériver par rapport à x avec un coefficient multiplicatif
(dérivée d'une fonction composée)
ou la dériver par rapport à la variable y avec un coefficient multiplicatif à gauche. Ces deux coefficients sont inverses l'un de l'autre.



Maxmau
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par Maxmau » 02 Avr 2008, 12:43

busard_des_roseaux a écrit:On peut la dériver par rapport à x avec un coefficient multiplicatif
(dérivée d'une fonction composée)
ou la dériver par rapport à la variable y avec un coefficient multiplicatif à gauche. Ces deux coefficients sont inverses l'un de l'autre.


je veux simplement dire qu'avec y, les choses se simplifient mieux:

f(x) = Arctan(x) = y ; x =tan(y)
Soit à démontrer que :
f^(n)(x) = (n-1)! cos^(n)(y) sin(ny+ n;)/2) (I)

Pour n=1 la formule (I) s’écrit : cosysin(y+ ;)/2) =cos²y
Elle est donc vraie pour n=1
Supposons la vraie au rang n et dérivons la /y
On obtient : f^(n+1)(x)(1/cos²y))=
(n-1)![ncos^(n-1))(y)(-siny)sin(ny+ n;)/2)+n cos^(n)(y)cos(ny+n;)/2)]
D’où : f^(n+1)(x)=n!cos^(n+1)(y) [-siny sin(ny+ n;)/2)+cosy cos(ny+n;)/2)]
Et f(n+1)(x)=n!cos^(n+1)(y) cos((n+1)y+n;)/2) =
n!cos^(n+1)(y) sin((n+1)y+(n+1);)/2)
La formule (I) est donc montrée par récurrence

busard_des_roseaux
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un an déja !!

par busard_des_roseaux » 19 Jan 2009, 10:04

une démo directe:






en reprenant la formule ( désigne la partie imaginaire)















busard_des_roseaux
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une ptite formule avec Taylor

par busard_des_roseaux » 19 Jan 2009, 10:57

busard_des_roseaux a écrit:


On fixe les réels x et y de la manière suivante:


on pose , on développe en série de Taylor pour X réel pas très loin de :



en remplaçant


busard_des_roseaux
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hallucinant

par busard_des_roseaux » 19 Jan 2009, 16:06

busard_des_roseaux a écrit:Le binôme donne:






ces sommes sigma sont citées
içi

 

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