Dérivée nième

[Florix]

Bonjour,

Voila un énoncé que JE COMPRENDS mais que je n'arrive pas a expliquer.

Quelle est la dérivée n-ième de sin 2x . Réponse : 2^n sin ( 2x + (n*pi)/2 )

On sait que la dérivée de sin u est u' cos u , et que sin ( x + pi/2 ) = - cos x (je me trompe peut ete sur cetet dernière formule)

Donc en fait vu que la dérivée de 2x est 2, et qu'on derive sin (2x) n fois, c'est normal qu'on ai 2^n . Ensuite c'est normal que dans la solution on ai pas de cosinus car on peut exprimer un sin en fonction d'un cos. Mais je n'arrive pas à expliquer le ( 2x + (n*pi)/2 )

Et puis mon raisonnement ne tient que par des explications, alors qu'il faudrait du concret !

Qqn pourrait t'il m'écrire la démonstration bien complète ?

Parce qu'en plus, on a vu que sin x dérivé p fois est égal à sin ( x + p(pi/2) )

Y'a t'il une formule pour sin (ax) dérivé p fois ?


Merci énormement d'avance pour vos réponses

Florix

[Florix]

(s'il il exsite une formule pour la dérivée p-ième de sin (ax+b), cos (ax+b) ou cos (ax) je suis aussi preneur ! - ces formules n'apparaissent dans aucun de mes bouquins de maths ! - )

[Nightmare]

Bonsoir

On note et
On souhaite calculer
On sait que :

Or ici :

donc :

En redérivant :

encore une fois :

On voit rapidement (et on démontrera par réccurence) que :

c'est-à-dire :

or tu l'as dit toi même :

donc :


CQFD

:happy3: