Dérivée nième

par **Ptiboudelard** » 11 Jan 2009, 16:23

Bonjour !

Voilà, j'ai un exercice à faire, où il faut trouver la dérivée nième d'une fonction. Facile me direz vous ! Cependant, d'après ce qu'a dit le professeur, il faut utiliser la formule de Leibniz, et là, je ne vois pas comment cette formule est applicable dans le cas suivant.

On donne la fonction f(x)=e^x (2x²+3x-2)

Montrer que la fonction f est dérivable indéfiniment et calculer sa dérivée nième.

Alors moi, j'ai procédé de la manière suivante :

J'ai calculé les première dérivées ( première, seconde, troisième et quatrième ) pour voir comment se comportait la fonction. J'en ai établi un pronostic :

la dérivée nième est fn(x)= e^x (2x²+4nx+3x+2n²-2+n)

Puis je l'ai démontré par récurrence :

initialisation : Pour n=1 f'(x)= e^x (2x²+7x+1)
e^x (2x²+4x+3x+2-2+1)=e^x(2x²+7x+1)

La propriété est initialisée

hérédité : Supposons la propriété vraie pour tout n soit : fn(x) = e^x (2x²+4nx+3x+2n²-2+n)
Montrons qu'elle se vérifie au rang n+1 soit : fn+1(x) = e^x (2x²+4nx+7x+2n²+5n+1)

fn+1(x) = (fn)'
= e^x (2x²+4nx+3x+2n²-2+n) + e^x (4x+4n+3)
= e^x (2x²+4nx+3x+2n²-2+n+4x+4n+3)
= e^x (2x²+4nx+7x+2n²+5n+1)

La propriété est héréditaire

Conclusion : C'est vrai pour tout n
f est donc indéfiniment dérivable est fn(x) = e^x (2x²+4nx+3x+2n²-2+n)
soit : fn(x) = e^x [x(2x+4n+3) + n(2n+1) -2]

Voilà ? Pourriez vous me dire ce qui cloche dans ce que j'ai fait et qui fait qu'à aucun moment je n'ai eu à utilisée la Formule de Leibniz ?

Merci !

P.S : fn veut dire "dérivée nième" mais je n'ai pas réussi à mettre le (n) en exposant de f !

par **XENSECP** » 11 Jan 2009, 16:29

Tu as intuité la formule alors bon ta démonstration par récurrence a l'air bonne (de loin) mais c'était pas ce qu'on te demandais quoi ^^

par **Ptiboudelard** » 11 Jan 2009, 16:33

Oui voilà, j'ai fait un pronostic, on vient de voir la formule de Leibniz. Là, je ne vois pas du tout comment l'utiliser. Je ne voyais que la récurrence pour montrer que c'était vrai pour tout n, et que donc c'était indéfiniment vrai ...

par **XENSECP** » 11 Jan 2009, 16:39

La formule de Leibniz permet de conclure beaucoup + rapidement quoi :D

par **yos** » 11 Jan 2009, 17:00

Ptiboudelard a écrit:d'après ce qu'a dit le professeur, il faut utiliser la formule de Leibniz, et là, je ne vois pas comment cette formule est applicable dans le cas suivant.

[B]On donne la fonction f(x)=e^x (2x²+3x-2)

La formule de Leibniz s'utilise pour calculer la dérivée n-ème d'un produit et ici on te demande ... la dérivée n-ème d'un produit.
Mon conseil : Calcule la dérivée n-ème de ce produit en utilisant la formule de Leibniz.

par **Ptiboudelard** » 11 Jan 2009, 17:04

bon je vais réessayer de l'utiliser ... sinon, par curiosité ? Ma récurrence est elle bonne ? ( et sensée ? )

par **yos** » 11 Jan 2009, 17:16

Oui sauf ça :

Ptiboudelard a écrit:hérédité : Supposons la propriété vraie pour tout n Montrons qu'elle se vérifie au rang n+1

Si on suppose la propriété vraie pour tout n , ya plus qu'à aller se coucher.

par **Ptiboudelard** » 11 Jan 2009, 17:19

ben non ... c'est comme ça qu'on procède pour les raisonnements par récurrence !!!

par **yos** » 11 Jan 2009, 17:19

Ptiboudelard a écrit:fn+1(x) = (fn)'
= e^x (2x²+4nx+3x+2n²-2+n) + e^x (4x+4n+3)
= e^x (2x²+4nx+3x+2n²-2+n+4x+4n+3)
= e^x (2x²+4nx+7x+2n²+5n+1)

Faudrait une ligne de plus avec des (n+1) en lieu et place des n de ton hypothèse de récurrence sinon t'as rien prouvé.

par **yos** » 11 Jan 2009, 17:20

Ptiboudelard a écrit:ben non ... c'est comme ça qu'on procède pour les raisonnements par récurrence !!!

NON! Il est impératif de dire "soit n un entier tel que f_n(x)=blabla" et surtout pas ce que tu dis.

par **Ptiboudelard** » 11 Jan 2009, 17:27

beeen je ne comprends pas, j'ai suivi exactement la méthode du prof ... et là j'en suis sur à 400% ... enfin merci du conseil quand meme

par **Ptiboudelard** » 11 Jan 2009, 17:32

Bon mais le problème c'est que je n'arrive pas à utiliser la formule de Leibniz, car la dérivée nième de ( 2x²+3x-2) me donne 0 !! Donc je ne vois pas comment procéder ...

par **Joker62** » 11 Jan 2009, 17:33

Si tu supposes qu'elle est vraie pour tout n dans N
Où est la nécessité de montrer qu'elle est vraie au rang n+1 puisque tu l'as supposée...

par **Ptiboudelard** » 11 Jan 2009, 17:37

lol ... parce que si on trouve que ce n'est pas le cas au rang n+1 alors ( raisonnement par l'absurde ) la propriété n'est pas vraie pour tout n. C'est réellement ce que nous a dit le prof, je vous l'assure !

par **Ptiboudelard** » 11 Jan 2009, 17:40

c'est bon j'ai compris ! Il faut que j'aille uniquement jusqu'à n=2 car pour tout n supérieur ou égal à 3, la dérivée nième de (2x²+3x-2) est égale à 0 . Votre avis ?

par **skilveg** » 11 Jan 2009, 17:44

Favorable.

par **Ptiboudelard** » 11 Jan 2009, 17:47

lol ! Merci ! en fait c'était ça qui me posait problème, c'est que je ne voyais comment procéder étant donné que pour n supérieur ou égal à 2, la dérivée nième était nulle ! Je vous tiens au courant de si j'y suis arrivé lol ! Merci encore !

par **Ptiboudelard** » 11 Jan 2009, 18:24

je ne comprends pas ... j'aboutis mais le problème c'est que, ce que je trouve ne contient aucun n . Je trouve ça :

fn(x) = e^x(e^x +8x+10 )

par **skilveg** » 11 Jan 2009, 19:12

Tu es sûr que tu n'as pas oublié les coefficients

de la formule de Leibniz?

par **Ptiboudelard** » 11 Jan 2009, 19:15

non je les ai utilisé ... et c'est pour ca que je ne comprends pas pourquoi je n'aboutis pas

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