Probabilités

[Gorosei]

Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes de même loi exponentielle de paramètre 1.
On note T= X/Y
1) Montrer que T est définie presque sûrement
Le point (Y=0) a pour mesure P(Y=0)=0 car Y est une var de loi exp donc continue.
Donc T est définie presque sûrement

2)Calculer la loi du couple (T,Y). En déduire la loi de T
On utilise le th de changement de var:
On pose S=(T,Y)
Soit un ouvert de et
On a

Soit
On montre facilement que est un difféomorphisme.

Donc d'après le th de chgt de var, S est continue de densité:


Loi de T:
S continue donc T est continue de densité:
et c'est la je bloque..

3)La variable aléatoire T est-elle intégrable ?
4)Soit U=min(X,Y) et V=max(X,Y). Calculer E[h(U,V)] pour toute fonction borélienne h: . Les variables aléatoires U et V sont-elles indépendantes?
5)Soit Z=U/V; Calculer la loi de Z. La variable aléatoire Z est-elle intégrable?

Merci d'avance pour votre aide.

[aviateur]

Bonjour
Ta question 2est visiblement fausse. En effet X>0 et Y>0 implique T=X/Y>0. Ta variable u (que tu devrais appeler t) ne vit que sur R+ et non pas sur R.

[Gorosei]

Pourquoi X>0 et Y>0 ?

Donc ?

[aviateur]

Il faut un peu de rigueur dans l'écriture. En effet pour moi si v>0 je en vois pas pourquoi on écrit |v|.
Ensuite tu dis "pourquoi X>0 et Y>0". C'est le début de l'exercice: c'est quoi X? c'est quoi une loi exponentielle?
On dirait que tu fais l'exercice sans tenir compte des données ou bien sans les avoir comprises.

[Gorosei]

Pas fait attention, je pensais que c'était uniquement t>0 , mais comme tv alors forcement v >0.




Loi de T:



Si on intégrait par rapport à t, ça ressemblerait à une loi exp(v) mais la je ne vois pas..

3) T est intégrable si
T suit sûrement une loi connu et son espérance sera inférieur à l'infini donc T intégrable.

[aviateur]

Bonjour
Il faut reprendre ton exercice à zéro et je veux bien t'aider mais il faut que tu refasses les questions avec le principe suivant: comprendre ce que l'on écrit, alléger les notations si possible (en particulier tes fonctions indicatrices c'est ou bien lourd ou même faux et mettre au lieu de ).
Ensuite vérifie tes résultats. En détail voici comment tu peux recommencer.
1. On peut commencer par ne pas s'ennuyer à introduire V car on a U=V. Donc ton application
va de l'ouvert U vers U (toutes les v.a sont >0 , X,Y puis T et U, on ne reviendra pas la dessus sauf mention contraire . Elle est bijective.... et tu as calculé son Jacobien.
2. Prenons la densité que tu as donné. As tu vérifié que
Non je suppose. Peux tu le faire?
Peux tu répondre aux question suivantes
3. C'est quoi la densité de X (sur R^+)? de Y?
4. La densité du couple (X,Y) (sur U)?
5. Normalement tu dois savoir que

(c'est ce que tu as écrit avec des notations différentes.)

Qu'est ce que cela donne?
Vérifie que .

On pourra alors passer à la loi de T ensuite mais pas avant d'avoir bien commencé

[Gorosei]

Merci, j'ai pu comprendre mon erreur.
2)Je trouve +inf
3) Densité de X:

Densité de Y :

4)Densité XY:

5)
Je tombe bien sur 1.

[aviateur]

Oui mais ici
Donc

Remarque du point de vue notation, il est préférable d'utiliser la variable t pour la variable aléatoire T.

Pour la loi de T, voici comment je fais. Je calcule d'abord la fonction de répartition de T.
Bien sur comme on ne s'intéresse qu'au calcul de pour
On a :
Ensuite la densité de T ,
Je te laisse faire le calcul est surtout vérifier que croissante et tend vers 1 quand t tend vers l'infini, où ce qui revient au même vérifier que est une densité.
Tu peux aussi vérifier le résultat avec un résultat que tu aurais pu obtenir avec une formule toute faite obtenue en cours.
Pour t<0 pas de pb ces fonctions sont nulles.

[Gorosei]

2)

donc
Ainsi,

3) donc T est intégrable.

4)

[aviateur]

Bonjour
Visiblement c'est du lourd, voire du très lourd et pourtant je t'avais donné une démarche à suivre.
Tu fais du compliqué avec un exercice simple et puis ce que tu écris n'a pas de sens:
D'une part le d'où sort-il?
Et puis la fonction de que tu sors devant l'intégrale est tout sauf une constante (donc pas égale à 1).
Enfin dire que T suit la loi n'a pas de sens car c'est quoi le paramètre t+1?

[Gorosei]

En faisant une IPP, je trouve

[aviateur]

Rebonjour
On reviens à des choses + normales.
Bon, tu peux intégrer sur pour avoir la fonction de répartition de T
puis dériver ensuite pour avoir la densité f_T.
Je demande ça pour éviter les utilisations des formules dont on ne sait pas d'où elle viennent.

Donc

Il faut donc calculer d'abord qui est en fait la densité . Comme ceal on voit d'où cela vient
On a donc
Effectivement il faut faire une IPP à cause du "v " Donc on pose f=v et
donc f'=1 et
il vient
Puis

Donc tu as le résultat cherché. Maintenant si tu calcules cela te permet de vérifier si le résultat est plausible mais cela revient au même de calculer et de voir que cela fait bien 1.

Pour moi c'est important de vérifier. En effet nul est à l'abri d'une erreur et ainsi calculer la fonction de répartition ou même vérifier que l'on a une densité (c'est à peu près le même travail)
permet de corriger une faute de calcul éventuelle)

[Gorosei]

Oui désolé entre temps j'ai modifié ma réponse, j'ai pu trouvé le bon résultat

[aviateur]

Oui je viens de voir.
Pour finir cette partie de façon un peu rigoureuse, tu précises que tu a travaillé pour t>0. Pour la densité est évidemment nulle, inutile de trainer dans les calculs des fonctions indicatrices.

[Gorosei]

D'accord merci

3) donc intégrable

4) mais je ne vois pas comment continuer

[aviateur]

3) Ben non justement en l'infini!!!!

4) je ne comprends pas ce que c'est ??? Est ce que tu peux me dire exactement ce que cela représente?

[Gorosei]

3) oui grosse erreur merci. Au fait, ça suffisait si seulement je disais que T est continue positive donc intégrable ?

4) C'est la seule formule que j'ai trouvé sur internet..

[aviateur]

Bon, admettons que tu l'as trouvée sur internet, qu'est ce c'est
Je ne sais pas mais pour pouvoir continuer il faut d'abord comprendre la formule.

[Gorosei]

P est une mesure de probabilité

[aviateur]

Bonsoir
mais T n'est pas intégrable d'après ce j'ai dit.!!

Oui, mais P est une mesure de probabilité, mais de quelle mesure de proba s'agit-il?