Probabilités

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aviateur
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Re: Probabilités

par aviateur » 24 Juin 2018, 01:32

Ensuite, je ne suis pas un pro de la proba mais je comprends tout de même un peu les choses.
En effet calculer E[h(U,V)] sans connaître h? (sauf que savoir qu'elle est mesurable). là je ne comprends pas la question. Peut être que quelqu'un pourra m'expliquer?
D'autre part pour savoir si 2 les 2 v.a U et V sont indépendantes je n"ai pas besoin de cela. Je ne vois pas très bien à quoi sert cette question.
Maintenant sans calculs on peut très bien conjecturer que les 2 v.a ne sont pas indépendantes. N'est ce pas?



Gorosei
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Re: Probabilités

par Gorosei » 24 Juin 2018, 02:40

3)Trompé sur ma définition alors... Je trouve donc non intégrable.

4) Pour ne pas vous dire de bêtise, je préfère vous citer le théorème trouvé.
Cadre: Soit une espace de probabilité.
T un VaR sur de dimension n i.e

On sait alors que V= est une variable aléatoire sur à valeurs dans

Théorème:
Si ou alors
existe et vaut:



Comment faire pour le conjecturer ?

aviateur
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Re: Probabilités

par aviateur » 24 Juin 2018, 10:07

De toute façon on a ici avec des notations plus ordinaires :

est la densité du couple (U,V). Quelque chose m'échappe dans cette question: on ne connait pas h et n'a pas été calculé. Donc personnellement je en vois pas ce que l'on peut faire.
Par contre il serait naturel de calculer la loi de U, de V et du couple (U,V) et de constater qu'elles ne sont pas indépendantes. De toute façon c'est que l'on demande finalement.
Attention le support de n'est pas vraiment le "min" étant toujours plus petit que le "max".

LB2
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Re: Probabilités

par LB2 » 24 Juin 2018, 14:24

Bonjour,

pour répondre à la question d'aviateur :

Pourquoi calculer avec h fonction continue de ) ?
En fait, est ce qu'on appelle une fonction muette ou fonction test.

On a un théorème de caractérisation de la loi d'une v.a. à densité par ces valeurs :
le théorème de transfert. Si alors est la densité du couple .

Il y a plusieurs façons de choisir un ensemble de fonctions test qui permet d'affirmer ce théorème de transfert, je ne suis pas spécialiste de théorie de la mesure...

Ce théorème donne une méthode pour calculer la loi d'un v.a. à densité, dite de la fonction muette. ne joue aucun rôle direct. En pratique, on calcule et on essaye de mettre cette intégrale sous la forme .
Alors est la densité du couple

LB2
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Re: Probabilités

par LB2 » 24 Juin 2018, 14:32

On a également un théorème qui caractérise l'indépendance d'un couple de v.a. à densité :
et sont indépendantes si et seulement si la densité du couple s'écrit comme le produit des densités respectives de et de .

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Re: Probabilités

par LB2 » 24 Juin 2018, 14:42

Pour calculer la loi d'une variable aléatoire à densité, il y a essentiellement trois méthodes :

- la fonction de répartition
- la méthode de la fonction muette via le théorème de transfert
- la fonction caractéristique qui caractérise la loi, essentiellement c'est une transformée de Fourier de la densité de probabilité.

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Re: Probabilités

par LB2 » 24 Juin 2018, 15:07

Pour revenir sur l'exercice, attention Gorosei, il y a de grosses confusions dans ce que tu dis.
Il faut déjà revenir aux résultats de base sur la loi exponentielle, cf sujet de maths ESSEC 2010, ECE maths 2, partie 1 par exemple.

Ensuite, au fil des questions :
1. OK
2. Comme l'a dit aviateur, ton changement de variable est incorrect car les intervalles d'intégration ne sont pas clairs. C'est typiquement le cas où énoncer ce théorème de changement de variable est très lourd en notations, et il faut savoir l'appliquer sans forcément tout écrire.

La méthode M1 ici est de calculer la loi du couple (T,Y) par théorème de transfert, puis d'en déduire la loi de T comme loi marginale de ce couple.
Je propose aussi deux autres méthodes :
M2- soit de calculer directement la loi de T en revenant à sa fonction de répartition
M3- soit de calculer directement la loi de T par théorème de transfert (calcul très proche de la méthode M1)

Pour M1, ton calcul s'écrit donc proprement


car X et Y sont indépendantes, donc la densité du couple (X,Y) est le produit des densités de X et de Y.

par le théorème de changement de variable. En effet, le déterminant du jacobien de vaut ). On peut aussi l'écrire .

On obtient donc la densité du couple (T,Y), puis la densité de T comme loi marginale.

donc par intégration par parties.

Brièvement la méthode M2 consiste à écrire et on obtient d'où par dérivation.

Brièvement la méthode M3 consiste à écrire et on retombe par changement de variable sur un calcul très proche de M1.

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Re: Probabilités

par LB2 » 24 Juin 2018, 15:31

3. cf réponse d'aviateur

4. Déjà, quelle est la loi de U, et quelle est la loi de V ?
Ensuite, pour une fonction test h, on peut écrire . Et je te laisse terminer le calcul de

On obtient la densité du couple (U,V), qui n'est pas le produit des densités de U et V. Conclusion, U et V ne sont pas indépendantes.

5. Même méthode, par théorème de transfert, on obtient la densité de Z, , et pour savoir si Z est intégrable, on calcule qui vaut (sous réserve) après calculs.

Cordialement

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Re: Probabilités

par Gorosei » 24 Juin 2018, 18:39

Bonjour,

Alors
Pour V, je trouve que

Pour j'essaie de refaire la même méthode que M1 mais je bloque car U et V ne sont pas indépendantes. Faut-il introduire l’indication que vous m'avez donné à un moment pour travailler avec l'indépendance de X et Y ?

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Re: Probabilités

par aviateur » 24 Juin 2018, 22:01

Pour les densités de U et V je crois que c'est bon (j'ai fait ça ce matin mais je n'ai plus les réponses.
Merci LB2 je vais regarder ton histoire de fonction de transfert.
Sinon la fonction caractéristique c'est ancien pour moi mais je me souviens bien que c'est une transformée de Fourier.

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Re: Probabilités

par LB2 » 25 Juin 2018, 00:15

@aviateur Une bonne référence pour les probabilités-statistiques niveau L3/M1 est le cours de J.F. Delmas https://cermics.enpc.fr/~delmas/Enseig/ensta_cours.pdf

@Gorosei
Ok pour les densités, pour le calcul de , utilise la définition de U et V, j'ai écrit le début du calcul dans mon post précédent
LB2 a écrit:Ensuite, pour une fonction test h, on peut écrire . Et je te laisse terminer le calcul de


Utilise la linéarité de l'espérance et l'indépendance de X et Y.

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Re: Probabilités

par Gorosei » 25 Juin 2018, 00:43

Et la j'utilise la M1 sur E[h(X,Y)] et E[h(Y,X)] mais je n’aboutis à rien :(

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Re: Probabilités

par LB2 » 25 Juin 2018, 00:45

Attention rien ne permet de dire que tu peux sortir les indicatrices de l'espérance, mais par contre tu peux considérer 1_{X<Y}h(X,Y) comme une fonction du couple (X,Y), donc il est facile d'écrire son espérance grace à la densité du couple. Et idem par symétrie pour l'autre (modulo un petit changement de variable (x',y')=(y,x) )

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Re: Probabilités

par Gorosei » 25 Juin 2018, 01:14

Je ne suis pas sur d'avoir bien compris ce qu'il fallait calculer.

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Re: Probabilités

par aviateur » 25 Juin 2018, 02:15

Bonjour
LB2. En fait le théorème de transfert c'est quelque chose que je ne connaissais pas (ou que j'ai oublié) mais dont finalement je devinais la formule ne serait ce que pour l'avoir donnée.
En particulier pour faire des simulations d'une v.a (qui par exemple suit une loi exponentielle) avec un ordinateur et sa fonction X= random (qui permet d'approcher la loi uniforme sur [0,1],) on cherche une fonction h tel que Y=h(X) de sorte que Y suivent la loi souhaitée (exponentielle dans notre exemple).
Quelque part c'est le th de transfert ici que j'utilise mais pour chercher la fonction h.)
Maintenant ici le théorème de transfert est utilisé comme méthode de calcul et h est une fonction test
(c'est à dire une fonction qcq pris dans un certain espace).
Maintenant je ne le savais pas simplement puisque (voir tes explications) je repasse toujours par la fonction de répartition pour déterminer les lois, c'est à dire qu'il y d'autres façons de faire.
Pour revenir au théorème de transfert on peut faire l'analogie avec les distributions qui est grosso modo le dual d'une espace de fonction tests.
Ici (où f est la densité de X)

Disons que tu prends h dans une espace de fonctions que je désigne par D pour mes explications (appelées fonctions tests dans la théorie des distributions) et pour une v.a X fixée tu fais correspondre
E[h(X)]=< f , h> Autrement dit f (ou bien la v.a X) est considéré comme un élément du dual de D.
Bien sûr derrière tout cela il faut des définitions précises mais en fait pour la pratique il suffit d'admettre le résultat))
L'intérêt c'est que si X=g(Y) E[h(X)]=E[h ( g (Y))] et tu passe de l'un à l'autre par un changement de variables
x=g(y).
Finalement tu retrouves une expression de la forme E(Y)=<w ,h > pour tout h dans D et w caractérise Y
en étant sa densité. Evidemment h ne joue qu'un rôle muet dans ce travail.
Merci LB2 pour ton explication sur la façon d'utiliser ce th de transfert


Pour revenir à l'exo je trouve important tout de même de dire que l'on s'attend à ce que U et V ne sont pas indépendantes. Bien sûr les calculs vont le confirmer mais:
U et V prennent leurs valeurs dans [0,1]. Mais par exemple si je sais que V=1/10 qu'elle est la proba que
U>1/2? (0 évidemment !!!!!) et la proba que U<1/10 (1 évidemment !!!!)

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Re: Probabilités

par Gorosei » 25 Juin 2018, 02:30

Merci pour l'intuition, j'ai pu comprendre.

Par contre j'ai vraiment du mal à le montrer mathématiquement. Je ne sais pas si ce que j'ai fait précédemment est bon, mais si on les additionne je ne vois pas ce que ce que cela donnera à cause du changement de var.
Cette exercice me dépasse un peu, j'ai du mal à croire que le professeur est pu nous le mettre en contrôle de 1h20(avec 2autres exercices "un peu plus court") en sachant qu'il nous demandait toute ses choses... :cry:

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Re: Probabilités

par aviateur » 25 Juin 2018, 09:53

Bonjour
Non un tel exercice en 1h20 c'est tout à fait normal. En effet lors d'un contrôle, la logique est que tu fasses le travail en ayant acquis les connaissances. En gros tu a 15 mn par questions avec des calculs pas compliqués.
C'est largement suffisant pour faire tes calculs, les vérifier et corrigé éventuellement une erreur;
Ici tu ce n'est pas un contrôle, les connaissances tu ne les a pas acquises. Alors là pour moi il n'y a pas chronomètre. Il faut se donner le temps de comprendre.
Pour revenir à la question concernant le couple (U,V). Comme cela a déjà été dit on peut le déterminer de plusieurs façons mais (maintenant) j'ai compris que l'énoncé suggère que l'on fasse les calculs en utilisant le th de transfert. Donc on reprend ici:
Mais avant tout il faut voir en tête que quelque soit la méthode utilisée on a toujours donc le support de la fonction densité est l'ensemble des (u,v) réels positifs tel que autrement dit ailleurs la densité est nulle et je ne vais pas m'ennuyer à trainer cela dans les calculs et donc aussi dans les écritures. Je note ce domaine
Une autre remarque qui est liée à cette remarque précédente c'est que l'application
qui va de vers définie par n'est pas bijective (un élément de admet 2 antécédents). C'est à dire que quelque soit le calcul cette remarque sera utilisée de façon cachée ou non.
Donc on reprend selon la méthode suggérée par l'énoncé et LB2

On a bien utilise la linéarité de l'espérance (et l'idée du dédoublement vient de ma remarque ci-dessus)
on a :


( étant la densité du couple (x,y) , indépendance... déjà vu)

De même

remarque c'est mon domaine (disons son intérieur)

c'est son symétrique par rapport à la droite y=x.

Comme on cherche l'expression de sur le domaine on est amené à faire le changement de variable (très simple) (x,y)--->(y,x) dans
Il vient donc
puis
D'où par le th de transfert

aviateur
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Re: Probabilités

par aviateur » 25 Juin 2018, 10:33

Et bien sûr on peut calculer par la même méthode les densités marginales.
Par exemple presque partout sur .
Donc
ou encore



Donc





D'où la densité de sur :
on retrouve la densité calculée autrement que tu avais donné aussi mais on ne sait pas comment tu as fait.

Il serait bien que tu (re)calcule la densité de V par ce procédé. L'autre étant bien sur le calcul de
P(U<t)=Proba (X<t et Y< t)=Proba (X<t) proba ( Y< t) (indépendance), ce calcul étant malgré tout + plus direct à mon avis.

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Re: Probabilités

par Gorosei » 27 Juin 2018, 02:05

Oui pour calculer la densité de U et V j'ai utilisé les fonctions de répartition mais je vais aussi m'entraîner avec cette nouvelle méthode.

Je tiens à vous remercier pour le temps et les explications détaillé que vous m'avez apporté sur l'ensemble de l'exercice :)

 

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