Pour revenir sur l'exercice, attention Gorosei, il y a de grosses confusions dans ce que tu dis.
Il faut déjà revenir aux résultats de base sur la loi exponentielle, cf sujet de maths ESSEC 2010, ECE maths 2, partie 1 par exemple.
Ensuite, au fil des questions :
1. OK
2. Comme l'a dit aviateur, ton changement de variable est incorrect car les intervalles d'intégration ne sont pas clairs. C'est typiquement le cas où énoncer ce théorème de changement de variable est très lourd en notations, et il faut savoir l'appliquer sans forcément tout écrire.
La méthode M1 ici est de calculer la loi du couple (T,Y) par théorème de transfert, puis d'en déduire la loi de T comme loi marginale de ce couple.
Je propose aussi deux autres méthodes :
M2- soit de calculer directement la loi de T en revenant à sa fonction de répartition
M3- soit de calculer directement la loi de T par théorème de transfert (calcul très proche de la méthode M1)
Pour M1, ton calcul s'écrit donc proprement
car X et Y sont indépendantes, donc la densité du couple (X,Y) est le produit des densités de X et de Y.
par le théorème de changement de variable. En effet, le déterminant du jacobien de
vaut
). On peut aussi l'écrire
.
On obtient donc la densité du couple (T,Y), puis la densité de T comme loi marginale.
donc
par intégration par parties.
Brièvement la méthode M2 consiste à écrire
et on obtient
d'où
par dérivation.
Brièvement la méthode M3 consiste à écrire
et on retombe par changement de variable sur un calcul très proche de M1.