Preuve que les nombres premiers jumeaux sont infinis

[theend10]

Bonjour à toutes et à tous,

J'ai π(n)~n/ln(n)~N, ,avec N la quantité de nombre permiers jusqu'a n , plus la valeur de n est grande cette relation devient vraie

Supposons que j'ai deux très grands nombres premiers jumeaux, rien n'empêche de passer d'une approximation à une égalité, par exemple, si π~3 alors je peux dire que π=3+a avec a=π-3 et a<<π,.

Donc : si n/ln(n)~N et (n+2)/ln(n+2)~N+1, alors n/ln(n)+a= N et (n+2)/ln(n+2)+b=N+1, avec a<< n/ln(n)et b<<(n+2)/ln(n+2) étant des nombres réels .

Donc, s'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux, l'équation (n+2)/ln(n+2)+b=1+n/ln(n)+a aurait une solution où n est très grand. Si cette équation n'a pas de solution pour n très grand, alors il existe un nombre fini de nombres premiers jumeaux qui sont inférieurs à un n spécifique.


Cette équation est aussi vraie pour n tend vers l'infini car l'infini = 1 + l'infini, donc, les nombres premiers jumeaux sont infinis.


Pour votre information : lors de la preuve de l'infinitude des nombres premiers, elle est également démontrée par ce type d'équation infini=infini+ constante:
q = p1 * p2 * ..{pi}.. * pn + 1/pi. Il est indiqué que la seule possibilité pour q d'être un entier est le cas infini = infini + 1/Pi. On en déduit que p1*p2.... =infini donc que les nombres premiers sont infinis.

Ici en parallèle on peut démontrer que les solutions de cette équation (n+2)/ln(n+2)+b=1+n/ln(n)+a ne s'arrête pas a un n petit et continue d'émerger jusqu'a vérifier infini=1+infini donc ce serait une preuve qu'une infinité de nombre jumeaux existe...

[Ben314]

Salut

J'ai π(n)~n/ln(n)~N, ,avec N la quantité de nombre permiers jusqu'a n , plus la valeur de n est grande cette relation devient vraie.

Hummm...
Tout dépend de ce que tu veut dire par "devient vraie" : ce qui est vrai, c'est que le rapport entre les deux quantités tend vers 1 (c'est la définition), mais par contre la différence entre les deux quantités risque fort probablement de tendres vers l'infini.

Supposons que j'ai deux très grands nombres premiers jumeaux, rien n'empêche de passer d'une approximation à une égalité

Absolument . . . pas du tout !!!!
Quand on manipule des équivalent, c'est pas idiot de savoir ce que ça signifie : là, par exemple, pour
n = 1 000 000, on a n/ln(n)=72 382,4 et π(n)=78 498 (dixit Wikipédia) et la division de l'un par l'autre vaut 1,0845 qui est proche de 1 et c'est ça que te dit l'équivalent.
Par contre de dire "faisons comme s'il y avait égalité" c'est totalement absurde vu que la différence (=soustraction) entre les deux nombres, c'est quand même plus de 6000 : l'approximation se goure de 6000 en ce qui concerne le nombre de nombres premiers <1 000 000 (et plus n va augmenter, plus l'erreur va être grande).
Si tu préfère, avec d'autres mots que tu comprendra peut-être mieux, l'erreur relative entre π(n) et n/ln(n) est de plus en plus faible, mais l'erreur absolue, elle, elle est de plus en plus grande.

Donc tout ton laïus qui suit, c'est du grand n'importe quoi, vu que les premier jumeaux, ça ne fait jamais que deux nombres premier de plus (ou pas) alors que la formule en question elle risque pas de faire de différence sur deux unités de plus ou de moins.

P.S. Et "infini + constante = infini", ça n'a pas la moitié du début du moindre sens sans définition rigoureuse de ce que tu appelle "infini" et de la façon dont tu procède pour faire des additions avec cet objet là. (essaye juste pour voir de vérifier avec des allumettes si "infini + 1 = infini" comme tu vérifierais que 5 + 3 = 8)

[theend10]

Même si a et b tend vers l'infini il serait toujours négligable devant l'infini de n/ln(n) et n+2/ln(n+2) , comme par exemple n ou -n devant n^2, c'est pour ça le rapport tend vers 1 même si a et b tend vers l'infini.

Pour être plus rigoureux mathématiquement je choisi a et b comme des suites ak et bk avec n/ln(n)+ak= N et (n+2)/ln(n+2)+bk=N+1, donc 1+n/ln(n)+ak=(n+2)/ln(n+2)+bk le rapport tend vers 1 même si ak et bk tend vers l'infini.

[GaBuZoMeu]

Je confirme ce qu'a déjàs écrit Ben314 : du grand n'importe quoi !
Même la démonstratio de l'infinité des nombres premiers c'est du n'importe quoi.
Une démonstration correcte : étant donné des nombres premiers on peut toujours en trouver un de plus en prenant un facteur premier de . Rien à voir avec les fadaises que theend10 raconte.

[theend10]

Ben314 a dit que l'erreur peut être infini je lui répondu que l'erreur même si il est infini le fait que le rapport est égal à 1 signifie qu'elle est négligable devant ln(n)/n et ln(n+2)/n+2, comme pour -n et n pour n^2.

La démonstration pour démontrer que les nombres permiers est basé sur une équation qui n'est pas toujours vrai tel que : q*pi=p1*p2*..pn+1 par exemple 30031=59*509=2*3*5*7*11*13+1 car pi=59 >13.

Mais en supposant qu'il vrai et que pi<pn on démontre par absurde que seulement si p1*p2*... pn=p1*p2...=infini donne un facteur q entier..

Ici IDM je suppose que cette équation 1+ln(n)/n +ak=ln(n+2)+bk est toujours vrai pour deux nombres jumeaux n et n+2 on démontre par absurde qu'il n'existe pas un n spécifique nmax pour résoudre l'équation donc les nombres jumeaux sont infinie car nmax tend vers l'infini..

[GaBuZoMeu]

Ça persiste dans le n'importe quoi.

[theend10]

Pourriez vous argumenter votre contradction comme l'a fait Ben314 ?
Pourquoi c'est n'importe quoi?

[GaBuZoMeu]

Ben314 te l'a déjà dit et tu as répondu à côté de la plaque.
" l'erreur relative entre π(n) et n/ln(n) est de plus en plus faible, mais l'erreur absolue, elle, elle est de plus en plus grande."Ensuite, ton discours à la fin est totalement inconsistant.
"l'équation (n+2)/ln(n+2)+b=1+n/ln(n)+a aurait une solution où n est très grand. "
Quelle sont les inconnues de cette équations ? a et b ?
Rien dans ce que tu racontes ne tient debout.

[theend10]

Vous n'avez pas sans doute compris ma réponse à Ben314
J'ai posé une erreur absolu ak tel que N=n/ln(n)+ak et N~n/ln(n) alors même si ak tend vers l'infini ca ne change rien .

Voici un exemple supposant que j'ai M=n^2+n=n^2+ak ou M=n^2-n=n^2+ak, si je dis que M~n^2 même si l'erreur absolu ak=n ou ak=-n tend vers l'infini ça ne changera rien j'ai toujours M~n^2 ...

Le variable dans l'équation est n quelque soit ak et bk, même si ak et bk tend vers l'infini.
Si je suppose que n et n+2 sont deux nombres jumeaux alors si ak et bk tend vers l'infini la solution n tend aussi vers l'infini pas vers un nmax donc les nombres jumeaux sont infinie.

[GaBuZoMeu]

"Le variable dans l'équation est n quelque soit ak et bk, même si ak et bk tend vers l'infini.
Si je suppose que n et n+2 sont deux nombres jumeaux alors si ak et bk tend vers l'infini la solution n tend aussi vers l'infini pas vers un nmax donc les nombres jumeaux sont infinie."

Ça n'a absolument aucun sens. C'est du charabia qui n'a rien a voir avec les mathématiques.

[theend10]

Donc vous ête d'accord sur le premiers point pour passer d'une aproximation a une égalité suite a mon argument c'est bien ...

non il a un sens , on fait la même chose pour démontrer que les nombres permiers sont infini suite a une égalité qui n'est pas toujours vrai q*pi=1+p1*p2*..pi...pn.

Ici j'ai une égalité (n+2)/ln(n+2)+bk=1+n/ln(n)+ak si je suppose que deux nombres jumeaux n et n+2 vérifie cette égalité pour ak=an et bk=bn, alors si je suppose que ak et bk tend vers l'infini forcement la seule solution est que n et n+2 tend vers l'infini donc on a une infinité de nombres jumeaux .
Si il existe un nombre fini de nombre jumeaux en supposant que l'erreur absolu ak et bk tend vers l' infini , la solution de cette équation donnera un nmax or ici nmax tend vers l'infini si l'erreur absolu tend vers l'infini.

C'est aussi une démonstration par absurde ou on peux montrer que la solution nmax n'est pas finie et tend vers l'infini même si l'erreur absolu tend vers l'infini.

Par exemple (nmax+2)/ln(nmax+2)+bk=1+nmax/ln(nmax)+ak
Si ak tend vers +infini et bk tend vers -l'infini la seule possiblité pour que l'égalité soit vrai est que nmax tend vers +infini et dans ce cas ak et bk serait négligable devant nmax/ln(nmax) et (nmax+2)/ln(nmax+2) si nmax est finie j'aurai une chose très absurde ou constante-infini=+infini+contante donc -infini=+infini .

Voici par exemple ou ak est positive quand n=5 on a (5/ ln(5))/3=1.03.. puis son jumeaux est n+2=7 on a (7/ ln(7))/4=0.89 donc bk est négative...

[Ben314]

A force, il faudrait que tu comprenne un truc, c'est que l'estimation asymptotique dont tu part, c'est un peu comme si on te disait que le volume des océans sur terre sensiblement le même que le volume de pluton (j'écrit n'importe quoi : ça n'a pas d'importance).
Et toi, avec que ça comme information, tu prétend que tu peut en déduire la présence de deux gouttes d'eau particulière dans l'océan (des premiers jumeaux).
As-tu as vraiment l'impression que c'est cohérent comme démarche ?

Donc je le répète : en utilise uniquement l'estimation asymptotique de Pi(n), il est totalement impossible d'en tirer une quelconque information sur les nombres premiers jumeaux : tu peut noircir des pages et des pages et tenir des raisonnement aussi alambiqués que tu veut, ça ne changera rien.
Après, il est possible que, partant de cette estimation plus d'autres considérations concernant les nombres premiers, on puisse éventuellement dire quelque chose. Sauf que toi, tu utilise rien d'autre et tant que tu n'utilisera rien d'autre, tout matheux, même débutant, n'aura même pas besoin de lire ta prose pour savoir que c'est un tissus d'âneries.

[theend10]

Ce n'est pas vraiment le démarche que je fais ici je dis simplement que si le volume des océans sur terre est sensiblement le même que le volume de pluton alors le volume des océans sur terre =le volume de pluton+-un volume petit par rapport au volume de pluton que je peux le mesurer.

C'est vrai que la permiere relation est une estimation asymptotique n/ln(n)~N mais la deuxieme relation n/ln(n)+ak=N ne l'est pas.

après je dis que si j'ai deux nombres jumeaux tel que n/ln(n)+ak=N et n+2/ln(n)+bk=N+1 alors ils vont vérifier n/ln(n)+ak=n+2/ln(n+2)+bk , et dans ce cas cette relation reste vrai même pour n tend vers l'infini donc il existe une infinité de nombres jumeaux ...

Et peut être une analyse de solutions donc n en fonction de ak et bk, peut nous dire plus sur l'emplacement des nombres jumeaux.

[Ben314]

Non, il est totalement évident que tu n'en tirera rien.
De savoir que les volumes de l'océan et de plutons sont les même à quelques millions de mètre cube prés ne risque bien évidement pas d'avoir la moindre utilité si on veut mesurer de "petits volumes" de l'océan.

Sinon, voici 3 exemples :

(1) Si l'ensemble des nombre premiers, on sait que .
Existe-t-il une infinité de tels que et soient dans ?
=> On n'en sait rien.

(2) On considère l'ensemble formé de tout les nombres premiers, sauf les jumeaux. On peut montrer que, de nouveau, on a
Existe-t-il une infinité de tels que et soient dans ?
=> Bien sûr que non, vu qu'on a enlevé les jumeaux.

(3) On considère l'ensemble formé de tout les nombres premiers, auquel on ajoute les nombres de la forme et ceux de la forme . On a toujours
Existe-t-il une infinité de tels que et soient dans ?
=> Bien sûr que oui, vu qu'on a ajouté une infinité de tels couples.

Et ces 3 exemples montrent, de façon formelle, qu'il n'y a même pas besoin de lire tes arguments pour savoir qu'ils sont faux.

[theend10]

Ici vous parlez d'une approximation en utlisant le signe~n/ln(n) , mais pourriez vous dire la même chose avec le signe =?

En clair en effecuter ses modifications mais a la place de faire un signe ~ vous allez faire un signe = comment vous allez faire?

En clair dans mon aproche pour transofrmer cette aproximation en égalité j'ai tout simplement ajouté ak donc a la place d'avoir ~n/ln(n) j'ai =n/ln(n)+ak pour (1) et j'aurais pour (2) =n/ln(n)+ad et pour (3) =n/ln(n)+ap

Biensur ils sont tous égaux à n/ln(n) quand n tend vers l'infini mais pour n finie ak et ad et ap sont différent.

[GaBuZoMeu]

Toujours du baratin sans queue ni tête !

[theend10]

Merci d'éviter les réponses sans argumentation , la plupart de votres réponses(lui a dit croyait le , vous racontez de bartin sans aucun argumentation) ne constitut pas un débat constructive et ne rapporte rien a la discussion.

Pour expliquer bien les choses je suis d'accord avec les 3 exemples de Ben314 si n tend vers l'infini ils sont équivalent à ~n/ln(n) mais pour n grand qui ne tend pas vers l'infini pour passer vers une égalité il faut ajouter des termes ak ap et ac de correction différents à n/ln(n) pour que ça soit vraiment égalité pas juste une approximation et une équivalence pour les 3 exemples et ce ajout reste valable même si n tend vers l'infini.

La on parle de fondement de mathématique , savez vous que par exemple que Eculide a démontrer l'infinité de nombre permiers avant le concept de cardinale et le concept de la limite et les mathématiques avancés d'aujourd'hui, donc rien n'interdit de revenir au fondement du mathématique pour essayer de faire une démonstration sur l'infinité de nombres jumeaux aussi...

[Ben314]

Çà serait un peu étonnant vu le nombre de personnes qui s'y sont frottés, mais il existe peut-être une preuve relativement élémentaire du fait qu'il y a (ou pas) une infinité de nombre premiers jumeaux.
Par contre, je te le redit, si cette preuve élémentaire existe, elle utilise forcément d'autres arguments que le comportement asymptotique de Pi(n).
Et décrire les équivalent avec des égalités + un reste (tes ak, ap, et autres ac), ça ne change bien évidement rien au problème : la fonction Pi(n) ne contient pas assez d'information. Ce que tu fait, c'est exactement comme si tu essayait de faire des tas de calculs avec les valeurs données dans le problème de l'age du capitaine . . .

[theend10]

En fait je ne suis pas trop d'accord avec la démonstration d'Eclulide , qui part d'une égalité qui n'est pas toujours vrai q*pi=p1*p2*...pi...pn+1
En fait je n'est pas toujours pi<pn par exemple  30031=59*509=2*3*5*7*11*13+1 car pi=59 ou 509>pn=13

Donc je peux avoir un q entier dans ce cas la 509=(2*3*5*7*11*13)/59+1/59 ou 59=(2*3*5*7*11*13)/509+1/509
Or dans la démonstration on suppose déja que pi<pn et dans ce cas il est serait impossible de trouver
un entier q=p1*p2*...{pi}...pn+1/pi sans traiter les autres cas ou pi>pn et j'ai q=(p1*p2*....pn)/pi+1/pi qui est correct et peut contradire le fait que les nombres permiers peuvent être infini.

[GaBuZoMeu]

Tu ne comprends pas cette démonstration, tu l'interprètes complètement de travers et tu prétends démontrer l'infinité des nombres premiers jumeaux. C'est le bouquet !
Tout entier a au moins un facteur premier. Si sont des nombres premiers, alors a un facteur premier . Ce facteur premier ne peut être égal a aucun des car est premier avec chacun d'eux. Conclusion : étant donné un nombre fini de premiers, on peut toujours en trouver un autre. Les nombres premiers ne sauraient être en nombre fini.
Cette démonstration est constructive et ne fait pas appel à l'infini actuel : c'est de l'infini potentiel.
theend10, tu devrais apprendre sérieusement les mathématiques au lieu de raconter n'importe quoi, comme tu le fais dans ce fil.