Montrer que 2 nombres composés sont premiers entre eux

[lolveley]

bonjour

je lis actuellement un livre de maths niveau BAC-BAC+2 et dans le chapitre analyse il y a une démonstration due à Fermat concernant des triangles rectangle dont les côtés ont la forme : a=2mn, b=m2-n2, c=m2+n2 (les 2 sont des carrés).

bref, une étape du raisonnement me pose problème:
si x et y sont premiers entre eux, et de parités différentes
alors x2-y2 et x2+y2 sont premiers entre eux.

j'ai essayé d'exprimer les hypothèses par le théorème de Bezout + les égalités x=2p, y=2q+1 mais mes calculs ne mènent nulle part.

pouvez-vous me donner le plan de la démonstration?

merci,

olivier :lol5:

[Doraki]

Comme x et y sont premiers entre eux et de parités différentes, tu peux montrer que x² et y² sont aussi premiers entre eux, et de parités différentes.

De là tu montres que (x²+y²) et (x²-y²) sont impairs,
Si d est un diviseur commun à (x²+y²) et (x²-y²), alors d divise (x²+y²)+(x²-y²)= 2x², et (x²+y²)-(x²-y²) = 2y². Comme d est premier avec 2, d divise donc x² et y², donc d = 1.

[Sourire_banane]

Comme x et y sont premiers entre eux et de parités différentes, tu peux montrer que x² et y² sont aussi premiers entre eux, et de parités différentes.

De là tu montres que (x²+y²) et (x²-y²) sont impairs,
Si d est un diviseur commun à (x²+y²) et (x²-y²), alors d divise (x²+y²)+(x²-y²)= 2x², et (x²-y²)-(x²-y²) = 2y². Comme d est premier avec 2, d divise donc x² et y², donc d = 1.

Plutôt (x²+y²)-(x²-y²)=2y²

[lolveley]

bonjour

merci pour cette réponse rapide.
et pour montrer que x^2 et y^2 sont premiers entre eux, je suppose qu'il faut écrire la décomposition de x et y comme somme de nombres premiers pondérés, et mettre par exemple x au carré, alors il y a 2 types de termes : les carrés, qui n'apparaissent pas dans y^2, et les doubles produits, qui n'apparaissent eux non plus pas dans le carré de y?

une dernière question : quel est votre niveau en maths? êtes-vous en fac, prépa? je ne sais pas si ce bouquin est trop compliqué pour moi, je ne pense pas pour l'instant mais je me pose des questions...
j'ai fait une prépa scientifique, suivi d'un deug 2e année de maths, mais ce simple problème sur les nombres premiers entre eux était trop dur pour moi...j'ai arrêté les maths pendant quelques années et je le sens.

olivier