Pour les ambitieux :D (polynome)

[bneay]

Salut tout le monde; j'ai une question pour les ambitieux d'entre vous^^

existe-t-l une suite (n>= 0) tq pour tout entier naturel n, le polynome:

ademet exactement n racines distinctes.

Amusez vous Matheux :we:

[Doraki]

1,1,1,1,1,1,1,1 ....

1+x+x²+...+x^n = (x^(n+1) - 1)/(x-1), qui a bien n racines distinctes dans C.

J'ai gagné quoi ?

[wserdx]

1,1,1,1,1,1,1,1 ....

1+x+x²+...+x^n = (x^(n+1) - 1)/(x-1), qui a bien n racines distinctes dans C.

J'ai gagné quoi ?

Bah, dans les racines, non ?

[Ben314]

Salut,
C'est trés trés trés con comme question :
Si tu tire totalement au pif un polynôme de degré n dans C, ben le cas "exeptionnel", c'est qu'il ait une racines doubles (ou plus) et le cas de trés loin le plus fréquent c'est qu'il ait des racines distinctes.
- Au sens de la mesure, les polynômes n'ayant pas n racines simples sont de mesure nulle.
- Au sens de la topologie, c'est un ensemble d'intérieur vide.
- Au sens des variétés, c'est (presque partout) une variété de dimension strictement inférieure à celle des polynômes de degrés n.

Aprés, par contre, c'est dans l'autre sens que ça me semble pas clair du tout :
Existe t'il une suite de complexes tous non nuls (y'a qu'à dire... pour éviter que la suite stagne) tel que tes fameux polynômes aient tous (au minimum) une racine double ?

[Ben314]

Bah, dans les racines, non ?

Heuuu, c'était précisé où dans l'énoncé le "dans R" ?

[Ben314]

Si le problème est dans R, c'est plus interessant, mais... pas trés dur :
On construit les An par récurence et il suffit de voir que, si on a un polynôme de degrés n, en ajoutant epsilon.X^(n+1) on change systématiquement de signe pour une des deux limites en +oo ou -oo mais que, si on prend epsilon suffisement petit, on ne va pas changer les signes des P(x) pour les extrémums locaux du polynôme (i.e. les racines de la dérivée).
Résultat : on créera forcément une racine suplémentaire (réelle) distincte des autres.

Aprés, si on veut une "vrai" valeur pour les An, il suffit de les prendre qui diminuent "trés trés vite" pour arriver à montrer que ça marche.
Mais ça risque d'être chiant et c'est inutile vu que la question est uniquement "existe t'il..." et pas "exhiber..."

[bneay]

Si le problème est dans R, c'est plus interessant, mais... pas trés dur :
On construit les An par récurence et il suffit de voir que, si on a un polynôme de degrés n, en ajoutant epsilon.X^(n+1) on change systématiquement de signe pour une des deux limites en +oo ou -oo mais que, si on prend epsilon suffisement petit, on ne va pas changer les signes des P(x) pour les extrémums locaux du polynôme (i.e. les racines de la dérivée).
Résultat : on créera forcément une racine suplémentaire (réelle) distincte des autres.

Aprés, si on veut une "vrai" valeur pour les An, il suffit de les prendre qui diminuent "trés trés vite" pour arriver à montrer que ça marche.
Mais ça risque d'être chiant et c'est inutile vu que la question est uniquement "existe t'il..." et pas "exhiber..."

Alors Mr Ben, quelle suite proposez vous? après avoir fini votre récurrence? c'est exhiber mnt! (Enfin de compte on travaille dans IR[X] pas dans C[X], je m'excuse car je l'ai pas signalé)

[Robic]

Une idée intuitive, c'est de partir du développement en série du cosinus. J'ai déjà vu le dessin des courbes des polynômes correspondant aux premiers coefficients, et ça donne autant de racines que le degré. Par exemple x-->1-x²/2 a deux racines et x-->1-x²/2+x^4/4! en a quatre. Bon, ce n'est pas une démonstration, mais je serais surpris que ce soit faux.

Du coup la suite serait : et .

Cette suite se comporte comme l'a indiqué Ben314 : en diminuant très vite.

(Par contre ce n'est pas le polynôme qui admet n racines, juste le polynôme . Ah, zut... Mais bon, à part ce détail sans importance il me semble que l'essentiel est trouvé.)

[chan79]

Une idée intuitive, c'est de partir du développement en série du cosinus. J'ai déjà vu le dessin des courbes des polynômes correspondant aux premiers coefficients, et ça donne autant de racines que le degré. Par exemple x-->1-x²/2 a deux racines et x-->1-x²/2+x^4/4! en a quatre. Bon, ce n'est pas une démonstration, mais je serais surpris que ce soit faux.

Du coup la suite serait : et .

Cette suite se comporte comme l'a indiqué Ben314 : en diminuant très vite.

(Par contre ce n'est pas le polynôme qui admet n racines, juste le polynôme . Ah, zut... Mais bon, à part ce détail sans importance il me semble que l'essentiel est trouvé.)

En allant jusqu'à 6, il ne doit y avoir que deux racines réelles

[Ben314]

Une solution pas trop compliquée : avec fixé :

Pour tout (donc n+1 valeurs) on a

Donc admet alternances de signes successives : il s'anule fois.

[Robic]

En allant jusqu'à 6, il ne doit y avoir que deux racines réelles

Zut, je viens de vérifier, tu as raison...

[zygomatique]

salut

soit une suite strictement croissante de réels

posons









....



alors le polynome admet les racines

...

[zygomatique]

ouais en fait je ne répond pas vraiment au problème .... :hum:

[bneay]

ouais en fait je ne répond pas vraiment au problème .... :hum:

tu as construit une nouvelle suite de coefficients, à l'aide de la formule de Viète bien évidemment, de telle façons que les ai sont les racines de P, et de telle façon que P soit scindé dans IR..

Mais comme tu l'as dit, c'est pas ce qu'on cherche, malheureusement!

[Robic]

(Ah, zut, j'avais trouvé un truc intéressant mais ça ne répond pas du tout à la question...)