Utilisation du Polynome Minimal pour les sev stables

[NICO 97]

Bonjour,
Dans mon cours, je vois que l'on peut utiliser le polynome minimal pour trouver des espaces stables pour u endomorphisme. (u(F)=F)
Il faut, pour cela, que u se factorise en facteurs non constants.
Il suffirait alors de prendre les noyaux et les images des Pi(u) où Pi est un facteur du polynôme annulateur minimal.

Je comprend, d'aprés la démonstration, que l'on a, en effet,
Ker P1(u);)E, Im P1(u);){0}, Ker P1(u);){0}, Im P1(u);)E, (pour i=1)

Mais comment alors en conclure qu'il existe F tq u(F)=F

[Maxmau]

Bonjour,
Dans mon cours, je vois que l'on peut utiliser le polynome minimal pour trouver des espaces stables pour u endomorphisme. (u(F)=F)
Il faut, pour cela, que u se factorise en facteurs non constants.
Il suffirait alors de prendre les noyaux et les images des Pi(u) où Pi est un facteur du polynôme annulateur minimal.

Je comprend, d'aprés la démonstration, que l'on a, en effet,
Ker P1(u);)E, Im P1(u);){0}, Ker P1(u);){0}, Im P1(u);)E, (pour i=1)

Mais comment alors en conclure qu'il existe F tq u(F)=F

bj

F stable par u signifie: u(F) contenu dans F
pour la stabilité se rappeler que A et B étant 2 polynômes et u un endomorphisme, les 2 endomorphismes A(u) et B(u) commutent

[ThSQ]

F tq u(F)=F

u commute avec P1(u) ça permet de montrer que KerP1 est stable.

[NICO 97]

Je crois que j'ai compris. En effet j'étais mal parti.

Donc le truc c'était de montrer que Ker(P1(u)) est stable par u :
Soit X dans Ker(P1(u))
P1(u)(u(X))=P1(u) O u(X) = u O P1(u) (X) = u(0) =0
Et de montrer que Im(P1(u) est stable par u :
Soit X dans Im(P1(u) et a=P1(u)(X)
P1(u)(u(X))=P1(u) O u(X) = u O P1(u) (X) = u(a) qui est donc dans Im(P1(u)

Merci à vous.