Tout pôlynome ayant pour racines les vap est il annulateur ?

[cloclo]

Bonjour,
J'aimerais savoir si tout polynôme ayant(entre autre) pour racines les vap d'un endomorphisme f est un polynôme annulateur de f ?
En fait j'aimerais surtout un contre-exemple.

[Lostounet]

Salut,

Les racines du polynôme minimal sont les valeurs propres de l'endomorphisme diagonalisable f. Tout polynôme ayant entre autres pour racines les valeurs propres sera forcément divisible par le polynôme minimal et donc annulera f.

[zygomatique]

si P est un polynome tel que P(f) = 0 alors pour tout polynome Q : (QP)(f) = Q(f)P(f) = 0 ...

[Kolis]

Bonjour !
Question ambigüe !
Faut-il entendre "les valeurs propres sont racines" sans ordre de multiplicité convenable ?
Dans ce cas c'est faux :
, la seule valeur propre est 1 mais n'est pas polynôme annulateur...

[cloclo]

Ok merci à vous !

J'ai compris, si le polynôme minimal Mf est scindé à racines simples, alors tout polynôme ayant pour racines les vap est divisible par Mf, est donc annule f. Mais sinon il suffit de prendre le polynôme ayant pour seules racines les vap , et toutes de multiplicité 1, et on a polynôme non annulateur ( plus petit que Mf).

[Ben314]

Salut,

, la seule valeur propre est 1

Tu es sûr ?

[jlb]

Salut , il devait penser à

[Kolis]

Effectivement, j'ai un "peu" buggé le Latex, pardon.