Polynomes

[mehdi-128]

Bonsoir,voici un exercice qui me laisse muet:

Soit P appartenant a C[x,y].On suppose P symétrique.On suppose également que
(x-y) divise P(x,y).

Montrer que (x-y)^2 divise P(x,y).
merci....

[aviateurpilot]

j'ai pas encore vu les polynomes à deux variables (je pense que je vais les voir l'anné prochaine)
mais je pense que
quand on dit que est symetrique?

[mehdi-128]

P(x,y) symétrique <=> P(x,y)=P(y,x)

[mehdi-128]

Il existe Q appartenant a C[x,y] tel que: P(x,y)=(x-y)Q(x,y)

Or,P(x,y)=P(y,x) => (x-y)Q(x,y)=(y-x)Q(y,x)

d'ou pour tout y différent de x : Q(x,y)=-Q(y,x) ..........

[aviateurpilot]

Il existe Q appartenant a C[x,y] tel que: P(x,y)=(x-y)Q(x,y)

Or,P(x,y)=P(y,x) => (x-y)Q(x,y)=(y-x)Q(y,x)

d'ou pour tout y différent de x : Q(x,y)=-Q(y,x) ..........

oui, c clair.
tu peux me dire les resultats que vous avez vu dans le cours sur ces polynomes.
par exemple, leur forme
moi je pense que qu'elle s'ecris sous la forme avec deux suites réels

[mehdi-128]

On a rien vu sur les polynomes en mp.....Tout a été vu en sup...

[yos]

P(x,y)=(x-y)Q(x,y)
P(y,x)=(y-x)Q(y,x)
mais P(x,y)=P(y,x)
donc Q(y,x)=-Q(x,y)
En particulier Q(x,x)=-Q(x,x)
donc Q(x,x)=0
donc Q(x,y) se factorise par (x-y).

[aviateurpilot]

avec
il est evident qu'on peux toujours ecrire un polynome a deux variable sous la forme tel que et deux polynomes.
on a
donc
on pose le polynome a une variable avec fixé,
on a donc il exist un polynome tel que
d'ou

[mehdi-128]

Ah ok merci... :)