[PCSI](Polynômes et suites) Formule d'Euler

[Lucky]

J'ai Pn=(X+i)^n-(X-i)^n J'ai calculé P2, P3, P4 et trouvé les racines.
On me demande de déterminer le degré, le coef dominant, ainsi que les deux coefficients suivants de Pn, et je n'y arrive pas. et pour empirer la chose on me demande de montrer que Pn a exactement n-1 racines distinctes : {-cotan(kpi/n), kappartenant à [1;n-1]... Je sèche complètement, quelqu'un peut il m'aider...
Merci d'avance... :triste:

[Flodelarab]

Donc la racine est 0 évidemment






racine évidente: 1 et -1


Je te laisse faire la suite ?

[Lucky]

J'ai déjà trouvé ça, enfin je crois que tu t'es trompé à moins que ça ne soit moi, pour P3 je trouve + ou - 1/racines de 3 et c'est le reste que j'arrive pas à faire :

Montrer que Pn a exactement n-1 racines distinctes qui sont les éléments

{-cotan(kpi/n) , k appartenant à [1;n-1]}

et en déduire que somme des k=1 à n-1 cotan²(kpi/n) est égale à (n-1)(n-2)/3

[Flodelarab]

pkoi ne pas faire une récurrence ?

[Lucky]

J'y ai pensé mais je bloque... j'ai :

Pn+1=(X+i)^n+1 - (X-i)^n+1 et je vois pas comment faire pour montrer qu'il y a n racines... Et encore moins comment montrer que ce les racines sont les -cotan(kpi/n)...

[Flodelarab]

Fais le à l'inverse


or
et

Donc:



Et voila !

Comme tu connais le nombre de racines , tu les a toutes trouver !

ok?

[Lucky]

Je comprend le raisonnment, mais je comprend pas comment ça justifie ce que je cherche lol, je suis désolé mais j'ai un peu de mal :s ^^

[fahr451]

z est racine ssi

(z+i)^n = (z-i)^n ssi Z^n = 1 avec Z = (z+i)/(z-i) (car z=i n 'est pas sol) ssi Z = w ^k avec w = exp (2ipi/n) k = 0,...n-1 ssi z = en fonction de Z (k = 1,...,n-1 (on a retiré k= 0 ) ) puis en utilisant la transformation usuelle 1+-exp(i théta) arriver au résultat.

[Lucky]

Je vois toujours pas... Vraiment désolé mais je vois pas du tout, j'essaye de suivre vos démarches mais je n'arrive pas à aboutir :triste:

[mathelot]

Lucky,
Il y a déja eu une discussion détaillée sur un problème équivalent
en un peu plus simple:

http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=27481

[Lucky]

Ah oui mais ça m'avance pas beaucoup lol ^^ :triste:

[Lucky]

J'ai trouvé merci pour vos indications :D

Par contre il me demande de déduire à l'aide des relations coefficients-racines et des polynomes symétriques élémentairesnque la somme de k=1 à n-1 des cotan²(kpi/n) est égale à (n-1)(n-2)/3

Bon là je sèche vraiment, c'est vrai qu'en réfléchissant bien les autres étaient faciles mais là je vois pas comment faire...

[fahr451]

hum il n'y a pas lieu d 'utiliser de fonction symétrique élémentaire autre que le produit des racines.

en plus simple tu as trouvé les racines (distinctes ) tu as le degré de P, tu as le coeff dominant de P tu as donc la factorisation explicite de P et il suffit d'évaluer en 0

[fahr451]

tu as les racines distinctes on te demande

S = sigma xk^2 avec xk racine


or (sigma xk )^2 = sigma (xk^2 ) + 2 sigma xixj

donc S = (sigma 1 )^2 -2 sigma 2

avec sigma 1 = somme des racines
sigma 2 = somme des produit 2 à 2 des racines.

et sigma 1,sigma 2 se calculent avec les relations coefficients racines.

[Lucky]

Ah j'avais pas vu sous cet angle... et sinon xi et xj c koi ? lol

[fahr451]

ben des racines

sigma des xixj c 'est le produit des racines 2 à 2 c 'est sigma 2

le carré de la somme = la somme des carrés plus la double somme des produits.

[Lucky]

j'ai beau relire mon cours je ne trouve pas les relations me permettant de calculer les deux sommes... je ne sais pas si je les ai vu...
Mais merci pour vos indications, enfin un endroit où on peut compter sur des gens ^^

[fahr451]

prenons un polynôme de degré n

P = sigma ( k = 0 , ..n) a(k) X^k les a(k) sont les coeffs

on le factorise complètement

P = a(n) (X-x1) ...(X-xn) les xi sont les racines
on développe cette forme factorisée

on obtient :

P = a(n) [X^(n-1) - (somme des xi) X^(n-1) + (somme des xixj) X^(n-2) + ...+ (-1)^n (produit des xi)]

et on identifie les coeffs :

somme des xi = -a(n-1) /a(n)

somme des xixj = + a(n-2) /a(n)


etc


produit des xi = (-1)^n a(0)/a(n)

ce sont les relations coeff ,racines.