L1 Polynômes - Racines complexe conjugués

[Gustav]

Bonjour,
Je suis en L1 de Math et dans mon cours sur les polynômes, il n'est pas écrit qu'une racine complexe admet toujours son conjugué en tant que racine. Or dans de nombreux exos ils semblent utiliser le fait que une racine complexe admet son conjugué, ce qui impliquerait du coup que le nombre de racines complexe soit toujours pairs.

Est-ce qu'un polynôme qui admet une racine complexe admet toujours son conjugué ?

Si oui, pouvez-vous me montrer une démonstration, ou me donner une ressource (vidéo, site internet, etc…) qui en parlerait ?

Merci d'avance !

[chombier]

C'est vrai uniquement pour les polynômes à coefficients réels. Car dans ce cas l'image du conjugué d'un nombre complexe est le conjugué de l'image de ce nombre (exercice : à démontrer). Et comme le conjugué de 0 est 0...

Un contre exemple : (X-3)(X-i) (qui est un polynome a coefficients complexes) a deux racines : 3 et i

[Gustav]

Merci bien pour votre réponse rapide, mais si on prend par exemple comme nombre complexe 5.

Et que l'on imagine qu'on ait :
P(5) = 3+i
on aurait aussi P(5) = 3-i ?
Ça semble impossible puisqu'un antécédent ne peut pas avoir deux images…
Et ce que c'est pour ça que ça ne fonctionne qu'avec les coefficients réels ?

Sauriez-vous où je pourrais avoir une démonstration de votre proposition svp ? Merci d'avance.

[Ben314]

Salut,
- Déjà, il est totalement absurde d'avoir à la fois P(5)=3+i et P(5)=3-i : une fonction polynôme, c'est en particulier une fonction et par définition même, une fonction c'est un "truc" qui à un élément de l'ensemble de départ associe un unique élément de l'ensemble d'arrivé. Si tu préfère, tout élément de l'ensemble de départ a une unique image.
- Ensuite, chombier t'a bien dit que le truc en question ne marche que pour des polynômes à coefficients réels. Et si tu prend un polynôme à coefficients réels et que tu regarde l'image d'un réel par ce polynôme, ben tu va uniquement calculer des sommes/produits de réels et bien évidement, le résultat sera un réel donc surement pas 3+i.
- Enfin, la preuve, plutôt que de la chercher "toute cuite", tu ferais bien mieux de la chercher : ça tient (à peine) une ligne et si tu la trouve tu peut être sûr que tu t'en souviendra alors que si tu ne fait que la lire, c'est on ne peut moins sûr que ça reste "gravé".

[chombier]

Merci bien pour votre réponse rapide, mais si on prend par exemple comme nombre complexe 5.

Et que l'on imagine qu'on ait :
P(5) = 3+i
on aurait aussi P(5) = 3-i ?
Ça semble impossible puisqu'un antécédent ne peut pas avoir deux images…
Et ce que c'est pour ça que ça ne fonctionne qu'avec les coefficients réels ?

Sauriez-vous où je pourrais avoir une démonstration de votre proposition svp ? Merci d'avance.

Ce n'est pas ça.

Si P est un polynôme à coefficients réels alors...



Si alors
Si alors
Si alors

En général, Si P est un polynôme à coefficients réels alors

[Gustav]

C'est bon j'ai réussi à montrer que pour tout polynôme à coef réels on a

Merci !