Polynômes

[srhmrc]

Bonsoir, je n'arrive pas à résoudre cet exercice :
Déterminer les coefficients du polynôme afin qu'il soit divisible par

[Ben314]

Pourtant il y a des tonnes de méthodes :
- Tu veut que P(X+1) soit divisible par X^3 donc tu développe P(X+1) et tu regarde à quelle condition (sur a,b,c) les coeff. constant, de X et de X^2 sont tout les 3 nuls.
- Tu effectue 3 fois de suite la division euclidienne de P par X-1 en exigeant à chaque fois que le reste soit nul.
- Tu fait la division euclidienne de P par (X-1)^3 (que tu as développé) et tu dit que le reste doit être nul.
- Tu utilise un résultat de cours (si tu l'a vu) qui te dit que 1 est racine (au moins) triple de P si et seulement si P(1)=P'(1)=P''(1)=0.

[srhmrc]

Bonjour,
J'ai essayé de faire 3 fois de suite la division euclidienne en exigeant que le reste soit nul. J'ai fais la première division et j'obtiens . J'ai du mal à comprendre ce qu'il faut faire ensuite.

[Ben314]

.

Ca, c'est n'importe quoi : si tu développe le terme de droite (où il n'y a ni , ni ), tu crois vraiment que tu va tomber sur celui de gauche ?

Pour faire la division, soit tu la pose comme les divisions d'entiers (tu trouvera des tonnes de sites et de vidéo décrivant le processus qui est le même que celui qu'on voit à l'école primaire avec les entiers).
Et sinon, dans le cas d'une division par un , on peut le faire "direct" (ça porte un nom, mais e sais plus lequel . . .). Par exemple là, tu écrit :
où le deuxième ? est le reste qui doit être un simple réel.
Pour que le produit donne il faut que ce qui donne

Si on développe, ça donne (en plus du ) du alors qu'on veut du donc il faut ajouter ce qui, compte tenu du dans le , donne

ce qui produit (en trop) un terme alors qu'on voudrait avoir donc il faut ajouter ce qui, compte tenu du dans le , donne

Etc... ce qui, ici, va donner

Et tu termine avec les coeff. constants qui donnent un reste .
Evidement, l'intérêt, c'est de tout faire de tête et de juste écrire de proche en proche les termes du quotient.