Polynômes primitifs et irréductibles

[wserdx]

Bonjour à tous.
Une question posée précédemment sur ce forum m'a inspiré ce petit problème.
Sauriez-vous montrer (sans aucun calcul) que si est un nombre premier, alors divise ?
Un élément de réponse est donné dans le titre.
Peut-être existe-t-il une démonstration plus triviale encore que celle à laquelle je pense?

[Ben314]

La démonstration auquel je pense est :
2^n-1 premier => n premier (car 2^(ab)-1 se divise par 2^a-1...)
et n premier => 2^n congru à 2 modulo n....

[wserdx]

En effet, ta démonstration est plus simple que la mienne.
Si est premier, tous les éléments de sauf bien sûr 0 et 1 sont d'ordre , donc sont primitifs, et leurs polynômes minimaux sur sont de degré . Ces polynômes minimaux ont chacun racines distinctes conjuguées. Donc divise .
C'était juste pour faire remarquer que dans ce cas tous les polynômes irréductibles de degré sont donc primitifs!
Voilà, voilà...