Polynome et suite

[jonses]

Bonjour ou bonsoir,

J'essaye de faire un exercice, mais je suis complétement bloqué. Je n'ai pas d'idée qui vient à l'esprit, si quelqu'un peut me donner une petite indication svp.


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Soit le produit scalaire défini sur R[X] :

Je dois montrer qu'il existe une suite de polynômes de R[X] tels que:

(1) pour tout , et le coefficient dominant de est positive

(2) et pour tous , si p=l, et si

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J'ai vraiment aucune idée pour bien attaquer cet exo.
Je pensais à une récurrence.. mais sur quoi (sur le degré des polynômes de R[X] ? ) ? et surtout une récurrence me parait pas pratique au vu des conditions.

A part cette idée infructueuse, je patauge vraiment.

Si quelqu'un peut me donner une petite indication svp.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[Doraki]

J'imagine que t'as pas vu le processus d'orthonormalisation de Gram-Schmidt en cours ?

Je te conseille de chercher les 2 ou 3 premiers polynômes de la suite,
puis d'essayer une récurrence.

[jonses]

Si, mais pour être honnête on vient de commencer de voir ce processus.

Mais, on l'a traité dans le cadre d'espace en dimensions finies, et je vois pas comment passer à R[X]

[zygomatique]

salut

oui on raisonne par récurrence sur le degré



= 1 c = ... ?



et a = ....? et b = .... ?

puis généralisation ....

[Doraki]

Si, mais pour être honnête on vient de commencer de voir ce processus.

Mais, on l'a traité dans le cadre d'espace en dimensions finies, et je vois pas comment passer à R[X]

Ben remplace R[X] par un truc comme R100[X] et montre qu'il existe une (unique) suite P0...P100 vérifiant le truc. C'est une application immédiate de Gram-Schmidt.