Suite de racine d'un polynome dérivé ! hihi

[foxto]

Soit le polynome P(n) de X de degré n+1, de racines 0, 1,2,...,n
MOntrer kil existe une unique racine r(n) du polynome dérivé entre 0 et 1 et que la suite des r(n) converge vers 0.
Voici une énigme ki m'a couté un certain nombre de nuit , je nen puis plus Venez moi en aide , j'ai teriblement besoin de dormir ! MErci A les math ca nous rendra dingues

[tize]

Pour l'existence, c'est facil, il suffit d'appliquer Rolle.
Le fait que r(n)->0 ...? je vais chercher... :hein:

[Alexandre_de_Prepanet]

C'est dommage de ne plus en dormir, surtout si tu es en prépa ! garde des forces pour la suite, sans te focaliser sur un unique exo !

Pour t'aider, c'est UNIQUEMENT le théorème de Rolle :

P(0)=0=P(1) donc il existe c dans ]0;1[ tel que P'(c)=0 par Rolle, d'où l'existence.

L'unicité c'est encore Rolle : si tu suppose P'(c1)=P'(c2) alors il existe c3 dans ]0;1[ tel que P''(c3)=0 donc P'(c3)=0 ; et par récurrence, P admet une infinité de racine (contradiction avec deg(P')=n )

[tize]

J'ai oublié, on a aussi l'unicité puisqu'en appliquant Rolle entre , on trouve exactement racines pour , chaque intervalle de la forme en contient une et une seule et racines c'est le maximum pour .
Il y a donc existence et unicité, reste à prouver que .

[foxto]

OUi oui javé trouver le truc de Rolle et pour l'unicité dcette racine g travaillé avec le nombre de racine et le degré du polynome . Ca ca me semble ok
Mais la tache est je pense de prouver la décroissance de r(n) dans un premier temps
Peut etre cette nuit méclaireras tel !
Ptite remarque à Alexandre , tu c jpense ki fo un peu dpassion dans ce monde si "mécanisé" dla prépa... Les exo a la chaine pfff NON A LINDUSTRIE MATHEMATIQUE
Merci de ton aide

[tize]

Je crois avoir trouvé !
On peut poser à une constante près...
on a alors :
.
J'appelle la racine de contenue dans [0;1]. On a :
d'ou :
ou encore :
et en divisant par et par :

le dernier terme étant divergent (serie riemann harmonique) on a nécessairement

Qu'en pensez-vous ? Il y a une erreur dans mon raisonnement ?

[foxto]

Bien jouer !
Jy été preske kan tu la envoyer
Javer kla somme des 0 a n des 1/k - r(n) était égale a 0
Ce ki correspond effectivement a ta derniere ligne.
Mais subsiste pour moi un flou sur la conclusion avec la divergence etc... (jsui pas encore averti en série milles excuses !)
Chapeau l'ami !

[tize]

Une démonstration de la divergence de la série est proposée ici
une fois que l'on sait cela il suffit de remarquer que : d'ou la divergence de
En espérant t'avoir aidé