Polynome irréductibles unitaire dans F_3[X]

[Azenora]

Bonjour je cherche à connaitre les polynômes irréductible unitaire dans F_3[X] et pour moi il suffit de trouver a et b dans F_3 tel que pour P(X) = X²+aX+b alors P(0),P(1), et P(2) e soient différents de 0. Ainsi j'obtient les polynômes suivant :
X²+1
X²+X+2
X²+2X+2
Mais d'après mes recherches j'ai l'impression que ce n'est pas totalement juste... Pourriez vous me guider, ou me dire où mon raisonnement est faux ! Je vous remercie d'avance!!

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Il y a des polynômes unitaires irréductibles en chaque degré. Alors que cherches-tu exactement ? Ceux de degré 2 ?

On sait de manière générale qu'un polynôme de degré 2 ou 3 sur un corps
est irréductible sur si et seulement s'il n'a pas de racine (c.-à-d. pas de facteur du premier degré) dans .

[tournesol]

(X^2+1)^2 est réductible mais sans racine .
Il en va de même de toutes les puissances d'exposant supérieur à 1 de tous les polynômes irréductibles.
Si il y a une cns d'irreductibilité pour les polynômes unitaires de F3[X] , on est dans l'algèbre++

[GaBuZoMeu]

C'est bien pour ça que j'ai écrit : de degré 2 ou 3.

[tournesol]

Ma troisième ligne n'était , et est toujours une question implicite à ton adresse.

[GaBuZoMeu]

Il y a des algorithmes pour décider si un polynôme sur un corps fini est irréductible (il y a des algorithmes pour factoriser en facteurs irréductibles).
On peut factoriser en facteurs irréductibles unitaires. Les facteurs de degré donnent la liste des polynômes irréductibles unitaires de degré .
Pour , ceci dit qu'on a trois polynômes irréductibles unitaires de degré 2.

[tournesol]

Merci à toi.
On dispose donc d'un algorithme pour déterminer la liste des polynômes irréductibles unitaires de degré donné .
J'ai vérifié que

[GaBuZoMeu]

De plusieurs algorithmes, même.
Il y en a un tout à fait bête, par récurrence :
En chaque degré il y a un nombre fini de polynômes unitaires. On fait la liste des polynômes unitaires de degré qui sont des produits de polynômes unitaires de degrés strictement inférieurs. Les autres sont irréductibles.