Polynôme irreductibles dans K[X]

[Vincent_chase]

Bonjour Mathématiciennes et Mathématiciens ,
Je suis en 2e année Licence math, on fait les corps finis et tout ce qui y a autour , mais j'ai un soucis je comprends rien à l'irreductibilité d'un Polynome de K[X] :mur:

Pourquoi est il irreductible dans Z/3Z et pas ailleurs ? On me dit qu'il faut chercher une racine dans Z/3Z (par exemple) et si il y en a pas et que le degré est 2 ou 3 alors il est irreductible.
Mais je vois pas comment chercher cette racine dans K...

[Nightmare]

Salut,

Au pire, il n'y a que 3 objets dans Z/3Z, c'est pas dur de tous les tester pour voir si l'un est une racine.

Sinon, pour un polynôme de degré 2, on peut toujours essayer d'appliquer la méthode du discriminant en prenant garde à ce que la racine carrée soit une racine carrée dans K et non dans R.

[Vincent_chase]

Par exemple je dois essayer 0,1,2 comme racine ?

[Vahinerii]

Un polynôme non constant P est dit irréductible sur K si ses seuls diviseurs sont les constantes
non nulles et les polynômes de K[X] de la forme ;)P (;) ;) K) soit P n’est ”pas factorisable” sur K.
Un scalaire a de K est une racine de P si P(a)=0, c'est-à-dire si et seulement si (X;) a) divise P.

[Vincent_chase]

Un polynôme non constant P est dit irréductible sur K si ses seuls diviseurs sont les constantes
non nulles et les polynômes de K[X] de la forme P (;) K) soit P n’est ”pas factorisable” sur K.
Un scalaire a de K est une racine de P si P(a)=0, c'est-à-dire si et seulement si (X;) a) divise P.

Oui , dans R[x] ou C[x]c'est facile à comprendre...

Dans Z/pZ il y a p(p-1)/2 polynomes irreductibles de degré 2 , de degré 3 ou de degré n je sais pas par contre ...

Par exemple dans Z/2Z il y a 1 seul Irreductible si je me trompe pas , il suffit de le connaitre et c'est reglé ( d'ailleurs c'est lequelle ? :dodo: )

[Vahinerii]

Par exemple dans Z/2Z il y a 1 seul Irreductible si je me trompe pas , il suffit de le connaitre et c'est reglé

On démontre que dans Z/2Z, on a un polynôme P irréductible de degré 2 et 2 polynômes irréductibles de degré 3: s'il n'est pas irréductible, P possède un facteur de degré 1 dans sa décomposition d'irréductible.

[Vincent_chase]

On démontre que dans Z/2Z, on a un polynôme P irréductible de degré 2 et 2 polynômes irréductibles de degré 3: s'il n'est pas irréductible, P possède un facteur de degré 1 dans sa décomposition d'irréductible.

Par exemple je dois trouver le pgcd(X4 + 3X3 - X- 3; X3 + X2 - X - 1) :
1. dans Q[X],
2. dans (Z/2Z)[X]

1. Pas trop de probleme; X4 + 3X3 - X- 3 = (X-1)(X-3)(X2+X +1) et X3+X2-X-1 = (X- 1)(X +1)²
2. Pourquoi est ce que ca devient : X4+3X3 -X-3= (X+1)²(X2+X+1) ???

3 n'est pas dans Z/2Z

[Nightmare]

Dans Z/2Z, 3=1=-1 donc X-1=X-3=X+1

[Vincent_chase]

Dans Z/2Z, 3=1=-1 donc X-1=X-3=X+1

Ah bah je suis dsl , mais c'est ça que je comprends mal.

3=1 ? Z/2Z est formé des classes de 0 et 1 ...

[Nightmare]

On fait une projection sur Z/2Z. A ce moment là, 3 est perçu comme la classe de 3, et cette classe est celle de 1, et aussi celle de -1.

[Vincent_chase]

On fait une projection sur Z/2Z. A ce moment là, 3 est perçu comme la classe de 3, et cette classe est celle de 1, et aussi celle de -1.

Et la projection de 4 est la classe 0 ?

[Nightmare]

Tout à fait.

[Vincent_chase]

Tout à fait.

Ah c'est une bonne nouvelle ça , par contre le 1 et -1 j'ai peur que ce soit pas très claire

[Nightmare]

Quelle est la classe de -1 dans Z/2Z ?

[Judoboy]

Ah c'est une bonne nouvelle ça , par contre le 1 et -1 j'ai peur que ce soit pas très claire

Est-ce que t'as bien compris comment on construisait Z/2Z ?

[Vincent_chase]

Peut etre pas , C'est la classe de 0 et 1 , i.e 2Z et 1+2Z ce qui equivaut aux entiers congrus à 1 modulo 2 et congrus à 0 modulo 2 ?