Décomposer un polynome en produits de facteurs irréductibles sur R(x)

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gally
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Décomposer un polynome en produits de facteurs irréductibles sur R(x)

par gally » 12 Juin 2012, 12:34

Bonjour, j'ai un petit problème avec cet exercice
Decomposer en produits d'irreductibles de R[X] les polynome suivant :
X^4 +
J'ai posé X=e(4iO) O=téta
je trouve 4 solutions
S0=e(i pi/4)
S1=e(i 3pi/4)
S2=e(i 5pi/4)
S3=e(i 7pi/4)

donc p(x)=(X-SO)(X-S1)(X-S2)(X-S3)

Mais le corrigé affiche ça :

X4 + 1 = (X ;) eipi/4)(X ;) e3ipi/4)(X ;) e7ipi/4)(X ;) e9ipi/4)
= ((X ;) eipi/4)(X ;) e9ipi/4))((X ;) e3ipi/4)(X ;) e7ipi/4))
= (X^2 ;)(2)^(1/2) fois2X + 1)(X^2 +(2)^(1/2) fois2X + 1).

Pourquoi ils ont enlevé S2?
Merci d'avance
Cordialement
Gally



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alm
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Localisation: Salé, Maroc

par alm » 12 Juin 2012, 13:04

Bonjour:
gally a écrit:Pourquoi ils ont enlevé S2?
Gally


Je ne sais pas!! ce qu'on aurait pu faire c'était remplacer par

================

Essaye d'avoir l'habitude d'utiliser les conjugués: ça facilite la tâche.
Par exemple on a

comme et -i on a déjà rapidement deux racines à savoir et et on a leurs conjugués respectifs à savoir et .

L'interrêt des conjugués est que l'on a la formule : , pour tout nombre complexe , ce qui permet de passer de polynômes à coeficients complexes non forcément réels à d'autres à coefficients réels ..

======================

Méthode rapide : termine ...





Edit : Quelque chose de bizare dans le sysème latex : en effet le code -i se transforme en f(x)=0 !!!! cela m'a causé d'éditer plusieurs fois ...

gally
Membre Naturel
Messages: 26
Enregistré le: 09 Mai 2012, 18:45

par gally » 12 Juin 2012, 13:28

MOHAMED_AIT_LH a écrit:Bonjour:

Je ne sais pas!! ce qu'on aurait pu faire c'était remplacer par

================

Essaye d'avoir l'habitude d'utiliser les conjugués: ça facilite la tâche.
Par exemple on a

comme et -i on a déjà rapidement deux racines à savoir et et on a leurs conjugués respectifs à savoir et .

L'interrêt des conjugués est que l'on a la formule : , pour tout nombre complexe , ce qui permet de passer de polynômes à coeficients complexes non forcément réels à d'autres à coefficients réels ..

======================

Méthode rapide : termine ...




Edit : Quelque chose de bizare dans le sysème latex : en effet le code -i se transforme en f(x)=0 !!!! cela m'a causé d'éditer plusieurs fois ...


C'est pareil, ils ont supprimé mon S2 donc ton Z2...

Luc
Membre Irrationnel
Messages: 1806
Enregistré le: 28 Jan 2006, 14:47

par Luc » 12 Juin 2012, 16:54

Bonjour gally,

Le corrigé semble faux.

Tes solutions sont justes, mais on peut les écrire "mieux" :





Pour décomposer comme produit d'irréductibles de , il suffit de regrouper les conjugués, ce qui donne :
comme te l'a montré MOHAMED_AIT_LH.

Luc

 

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