Plan projectif

[mehdi-128]

Bonjour,

J'ai voulu me renseigner sur les plans projectifs, mais après 3 heures de lectures de plusieurs pages, je comprends absolument rien.

Entre la définition réelle et la définition mathématiques, je comprends aucune des deux. Et les exemples donnés encore pire. Pourtant, j'ai des bases mathématiques de MPSI/MP.

Quelqu'un aurait une définition ou un schéma clair à me donner ? Puis des exercices simples à me donner à résoudre ?

Merci d'avance.

[Robot]

Regarde ici : http://images.math.cnrs.fr/Et-si-on-rajoutait-une-droite-a-l-infini

Qu'appelles-tu définition réelle et définition mathématique ???

[mehdi-128]

Regarde ici : http://images.math.cnrs.fr/Et-si-on-rajoutait-une-droite-a-l-infini

Qu'appelles-tu définition réelle et définition mathématique ???

La définition réelle : la définition pratique géométrique.

La définition mathématique : la définition avec les espaces vectoriels et les classes d'équivalence.

[Robot]

La définition réelle : la définition pratique géométrique.

C'est quoi, précisément ?

[mehdi-128]

J'ai commencé à lire ça allait mais là je comprends plus :

"Nous pensons maintenant à notre cercle comme étant la réunion de la droite et du point n. Retirons à présent un point du cercle, la partie du cercle qui reste, une fois dépliée, est une droite, et le point à l’infini de cette droite est le point que nous venons de retirer du cercle. "

Ça veut dire quoi enlever un point du cercle ?

Et le point situé à l'infini sur la droite ne correspond pas toujours à n ?

[mehdi-128]

La définition réelle : la définition pratique géométrique.

C'est quoi, précisément ?

D'après la lecture de votre document : un plan projectif c'est un plan où 2 droites parallèles se rejoignent ?

[Robot]

Tu appelles ça une définition, même "pratique géométrique" ?

On peut vulgariser la vraie définition en disant qu'un plan projectif est un plan "normal" auquel on a ajouté un point à l'infini pour chaque direction de droites, de sorte que deux droites parallèles ont en commun ce point à l'infini. Chaque droite avec son point à l'infini est une droite projective, et les points à l'infini ensemble forment eux-mêmes une droite projective (l'horizon des dessins en perspective).

[mehdi-128]

Tu appelles ça une définition, même "pratique géométrique" ?

On peut vulgariser la vraie définition en disant qu'un plan projectif est un plan "normal" auquel on a ajouté un point à l'infini pour chaque direction de droites, de sorte que deux droites parallèles ont en commun ce point à l'infini. Chaque droite avec son point à l'infini est une droite projective, et les points à l'infini ensemble forment eux-mêmes une droite projective (l'horizon des dessins en perspective).

Merci !

Plan normal à quoi ?

Pouvez vous m'expliquer l'histoire du cercle auquel on enlève un point ?

[Ben314]

Ce n'est pas un plan "normal à quelque chose" dont parle Robot, mais d'un plan "normal" dans le sens "usuel" ou "habituel", c'est a dire un plan affine (éventuellement euclidien) classique.

Sinon, concernant le cercle (*), tu part d'un cercle C et de deux points N et S diamétralement opposés sur le cercle.
Tu trace la droite D tangente au cercle passant par S.
A tout point M autre que N du cercle C, on associe le point f(M) qui est l'intersection la droite (NM) et de D (fait un dessin).
On voit immédiatement que f réalise une bijection de C\{N} sur D et il peut venir à l'esprit de "rajouter" un point "à l'infini" sur la droite D qui serait vu comme "l'image de N par la fonction f". On obtient alors une "droite projective" D'=Du{oo} qui est naturellement en bijection avec le cercle C (et on peut munir D' de la topologie issue de celle de C via f de façon à ce que f soit un homéomorphisme)

(*) A mon avis, ce point de vue n'est pas franchement le bon, vu que, si on fait exactement la même chose en partant d'un plan "posé" sur une sphère dans R^3, on ne construit pas le plan projectif (qui contient une infinité de "points à l'infini") mais le compactifié d'Alexandrov du plan (qui ne contient qu'un seul "point à l'infini")

[Robot]

(*) A mon avis, ce point de vue n'est pas franchement le bon, vu que, si on fait exactement la même chose en partant d'un plan "posé" sur une sphère dans R^3, on ne construit pas le plan projectif (qui contient une infinité de "points à l'infini") mais le compactifié d'Alexandrov du plan (qui ne contient qu'un seul "point à l'infini")

On construit la droite projective complexe à partir de ....

[Ben314]

On construit la droite projective complexe à partir de ....

Oui, mais :
a) La construction ne marche que pour construire des droites projective, ce qui est quand même un peu limitatif.
b) Pour moi, c'est pas la même construction que celle partant de R vu que le R^3 dans lequel on "plonge" C, c'est pas C^2 et, surtout, que la sphère de dimension 2 de R^3, je pense que pas que ce soit la même chose qu'un "cercle de C^2", quelque soit la définition qu'on prenne de "cercle de C^2".
Plus précisément, pour qu'exactement la même construction fonctionne (i.e. que les "droites" (NM) coupent la "droite" C en un unique point), il faudrait définir le "cercle de C²" comme étant l'ensemble des (z,z') de C² tels que z²+z'²=1 (sans modules) et que c'est pas vraiment la même chose qu'une sphère de R^3.

[Robot]

La projection stéréographique du cercle sur la droite réelle est juste la restriction à un grand cercle passant par le pôle de la projection stéréographique de la sphère sur le plan. Les projections stéréographiques et leurs inverses sont données par les mêmes formules dans le cas réel et le cas complexe. Les deux projections stéréographiques associées aux deux pôles fournissent les cartes standard des droites projectives réelles ou complexes. Ca me semble donc un très bon point de vue sur les droites projectives.

[mehdi-128]

(*) A mon avis, ce point de vue n'est pas franchement le bon, vu que, si on fait exactement la même chose en partant d'un plan "posé" sur une sphère dans R^3, on ne construit pas le plan projectif (qui contient une infinité de "points à l'infini") mais le compactifié d'Alexandrov du plan (qui ne contient qu'un seul "point à l'infini")

On construit la droite projective complexe à partir de ....

Merci j'ai compris mais 2 question :

1/ Pourquoi vous dites que la bijection est de C privé de N sur D : pourquoi vous retirez le point N alors qu'il appartient au cercle ?

2/ Vous dites que la droite projective est D en union avec un point à l'infini je suis d'accord en partie : pour moi N projeté sur D à l'infini à 2 images qui sont l'infini : une à droite du cercle et une à gauche... Pourquoi ?

[mehdi-128]

Selon moi : D'=Du{-oo}u{+oo}

Où je me trompe ?

[Robot]

Parce que la projection n'est pas définie en N, tout simplement !
Pour construire la projection du point A du cercle sur la droite D, on trace la droite NA et on prend son intersection avec D.
C'est quoi, la droite NN ? Mettons que c'est la tangente au cercle C en N (logique, c'est la limite de la corde NA quand A tend vers N. Mézalor cette tangente est parallèle à D. Bon, elle a en commun avec D le fameux point ajouté à l'infini dans la direction de D. Et il y a un seul point à l'infini du plan projectif dans cette direction.

Tu sembles vouloir ajouter un point à l'infini de chaque côté, autrement dit deux points à l'infini dans chaque direction. On peut aussi faire ça, mais ce qu'on obtient n'est pas le plan projectif. On obtient essentiellement un disque (le cercle bord du disque étant formé des points à l'infini).

Ajout : une façon de voir ça. Tu as une sphère de centre O. Posé sur le pôle nord N, un plan P tangent à la sphère. A tout point M du plan tu fais correspondre le point d'intersection de (OM) avec l'hémisphère nord. Ca te donne une bijection de P sur l'hémisphère nord, privé de l'équateur. Les droites du plan P sont envoyées sur les demi-grands cercles de l'hémisphère nord joignant deux points diamétralement opposés de l'équateur. Tu peux ajouter ces points de l'équateur comme points à l'infini (il y a donc deux points à l'infini pour chaque direction de droite). Tu obtiens l'hémisphère nord avec équateur, c'est-à-dire essentiellement un disque fermé ; ce n'est pas le plan projectif.
En fait, le plan projectif, tu peux l'obtenir comme quotient de cet hémisphère nord, en identifiant deux points de l'équateur diamétralement opposés. Un peu difficile à voir !

[mehdi-128]

Parce que la projection n'est pas définie en N, tout simplement !
Pour construire la projection du point A du cercle sur la droite D, on trace la droite NA et on prend son intersection avec D.
C'est quoi, la droite NN ? Mettons que c'est la tangente au cercle C en N (logique, c'est la limite de la corde NA quand A tend vers N. Mézalor cette tangente est parallèle à D. Bon, elle a en commun avec D le fameux point ajouté à l'infini dans la direction de D. Et il y a un seul point à l'infini du plan projectif dans cette direction.

Tu sembles vouloir ajouter un point à l'infini de chaque côté, autrement dit deux points à l'infini dans chaque direction. On peut aussi faire ça, mais ce qu'on obtient n'est pas le plan projectif. On obtient essentiellement un disque (le cercle bord du disque étant formé des points à l'infini).

Ajout : une façon de voir ça. Tu as une sphère de centre O. Posé sur le pôle nord N, un plan P tangent à la sphère. A tout point M du plan tu fais correspondre le point d'intersection de (OM) avec l'hémisphère nord. Ca te donne une bijection de P sur l'hémisphère nord, privé de l'équateur. Les droites du plan P sont envoyées sur les demi-grands cercles de l'hémisphère nord joignant deux points diamétralement opposés de l'équateur. Tu peux ajouter ces points de l'équateur comme points à l'infini (il y a donc deux points à l'infini pour chaque direction de droite). Tu obtiens l'hémisphère nord avec équateur, c'est-à-dire essentiellement un disque fermé ; ce n'est pas le plan projectif.
En fait, le plan projectif, tu peux l'obtenir comme quotient de cet hémisphère nord, en identifiant deux points de l'équateur diamétralement opposés. Un peu difficile à voir !

J'ai compris pour N merci !

J'arrive pas à comprendre la notion pour le pont à l'infini : selon moi si on veut projeter N sur la droite D, on le fait sur la gauche on obtient le point à infini, on le fait sur la droite on obtient le point à l'infini.

Mais c'est quoi concrètement le point à l’infini ? Et pourquoi c'est identique qu'on aille vers la gauche ou vers la droite ?

[mehdi-128]

Le deuxième exemple j'ai rien compris, trop compliqué.

[Robot]

J'arrive pas à comprendre la notion pour le pont à l'infini : selon moi si on veut projeter N sur la droite D, on le fait sur la gauche on obtient le point à infini, on le fait sur la droite on obtient le point à l'infini.
Mais c'est quoi concrètement le point à l’infini ? Et pourquoi c'est identique qu'on aille vers la gauche ou vers la droite ?

Par définition du plan projectif ! Quand on complète le plan affine en un plan projectif, on ajoute un point et un seul à l'infini pour chaque direction de droite. Pour une approche concrète de ce que ça représente, on peut se souvenir du principe de la représentation en perspective, comme illustré sur cette figure :



Chaque droite du plan horizontal est représenté sur le plan du tableau par une droite qui coupe la ligne d'horizon en un point et un seul (représentation du point à l'infini de cette droite).

Le deuxième exemple j'ai rien compris, trop compliqué.

Un petit dessin qui illustre ce que je disais, pour mieux le comprendre.



Tu y vois la projection du plan P sur l'hémisphère nord, et l'image d'une droite avec deux points "à l'infini" sur l'équateur (représenté par des petites boules rouges). C'était pour t'expliquer une autre manière d'ajouter des points à l'infini au plan affine, différente du plan projectif. Ici, par rapport à la représentation en perspective du dessin précédent, on peut penser à un appareil photographique avec un objectif "fisheye" à 180°.

[mehdi-128]

Merci j'ai compris la règle de la perspective !

Dans votre premier schéma, il y a un point où se rejoignent les droites verticales sur le tableau la pointe du triangle c'est un point à l'infini ?

Il y a aussi un point où se rejoignent les droites horizontales noté OK c'est le deuxième point à l'infini ?

Ces 2 points doivent obligatoirement être sur une droite parallèle au plan du sol ?

[mehdi-128]

Merci j'ai compris le deuxième schéma

Donc la projection du plan P par rapport à l'origine de la sphère est le disque hémisphère nord avec 2 points à l'infini ?
Mais comme il y a 2 points à l'infini ce n'est pas un plan projectif ?