Plan projectif

par **barbu23** » 28 Déc 2009, 22:23

Bonsoir : :happy3:
Je voudrais savoir quelle est la difference entre un plan projectif, et un plan de droites vectorielles ?
Merci d'avance ! :happy3:

par **Nightmare** » 29 Déc 2009, 01:01

Salut,

Dans un ev à 3 dimension, on peut projeter les droites de l'espace sur un plan, en disant que deux droites ont la même projection si elles ont même direction. Autrement dit, on quotiente l'espace vectoriel par la relation de colinéarité entre deux vecteurs. On obtient effectivement une sorte de plan avec toutes les classes de droites vectorielles de l'espace. Ce n'est pas un plan vectoriel à proprement parler comme un ev de dimension 2 puisque ça n'a pas une structure d'ev, mais de variété topologique, homéomorphe par contre, localement, à un plan vectoriel.

par **barbu23** » 29 Déc 2009, 13:59

Merci Nightmare pour cette jolie explications ! :happy3:
Par contre, je ne vois pas pourquoi :
un plan projectif est une variété topologique, homéomorphe localement, à un plan vectoriel ! :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

par **barbu23** » 29 Déc 2009, 20:35

svp, un coup de main ! :happy3:

par **barbu23** » 30 Déc 2009, 12:13

svp, un coup de main ! :happy3:

par **Nightmare** » 30 Déc 2009, 13:50

C'est la définition d'une variété topologique d'être localement homéomorphe à

.

Pour montrer que c'est une variété, ce n'est pas trivial. En fait je ne connais pas de méthode globale pour le montrer, indépendante de l'espace vectoriel de départ mais tu en trouveras surement via google.

par **barbu23** » 30 Déc 2009, 15:28

Ah oui ! quel etourdie ! :happy3: je n'y ai pas pensé ( definition d'une variété topologique ) ! :happy3:
Merci nightmare ! :happy3:

Plan projectif

Plan projectif

Qui est en ligne