Plan projectif

[Robot]

Le premier schéma n'est pas de moi bien sûr, il est un peu surchargé. J'en refais un plus clair.



On a une projection perspective p du plan P (bleu) sur le plan T (rouge) du tableau, de centre O.
Tu vois l'image dans la perspective du point à l'infini (il n'y en n'a qu'un dans le plan projectif) commun des deux droites parallèles bleues : c'est le point d'intersection des deux droites rouges. Il est sur la ligne d'horizon, intersection du plan T avec le plan parallèle à P passant par O.

[mehdi-128]

Merci le schéma est beau

Mais le point O n'est pas dans le plan du tableau ? C'est juste un point qu'on prend au hasard pour faire la projection ?

[Robot]

Non il n'est pas dans le plan du tableau ! C'est l'oeil du spectateur, si tu veux.

[mehdi-128]

Non il n'est pas dans le plan du tableau ! C'est l'oeil du spectateur, si tu veux.

Et ce point O on le prend à mi hauteur du tableau ou ça n'a pas d'importance ?

[Robot]

Le coup du tableau est une image (non mathématique). Pour de vrai, T est un plan. Et j'ai du mal à dire où est la mi-hauteur d'un plan.

[mehdi-128]

Je parlais de milieu car je m'imaginais le plan rouge comme un tableau fini avec dimensions.
Pour la construction des droites sur le plan rouge c'est bien ça ?
Prenons une droite avec 2 points M et M', traçons (OM) , (OM') et on regarde leur points d'intersection avec le plan. Puis on trace la droite composé de ces 2 points.
On fait la même chose avec la droite parallèle à la première.
Le point d'intersection de ces 2 droites sur le plan rouge est le point à l'infini.

Et pour les droites parallèles au plan rouge comment on fait la construction ?

[Robot]

Ben, de la même façon, pardi !
Je préfère dire ça comme ça : si on a une droite D dans le plan bleu P, on forme le plan OD (contenant O et D), et on l'intersecte avec le plan rouge T : la droite d'intersection est l'image de la droite D.
Il y a une droite du plan P pour laquelle cette construction ne marche pas. Tu vois laquelle ?

[mehdi-128]

Ben, de la même façon, pardi !
Je préfère dire ça comme ça : si on a une droite D dans le plan bleu P, on forme le plan OD (contenant O et D), et on l'intersecte avec le plan rouge T : la droite d'intersection est l'image de la droite D.
Il y a une droite du plan P pour laquelle cette construction ne marche pas. Tu vois laquelle ?

Le plan OD ça veut rien dire non ?
On forme pas un plan avec un droite et un point, il faut 2 droites !

Je vois pas pour quelles droites ça marche pas...

Les droites qui marchent pas c'est les droites parallèles au plan rouge ? Pas réussi à faire la construction sur ma feuille je comprends pas où les droites se coupent sur le plan rouge.

C'est une vraie galère à faire manuellement les dessins comment on sait où ça coupe exactement dans le plan etc ...

[Robot]

Le plan OD ça veut rien dire non ?
On forme pas un plan avec un droite et un point, il faut 2 droites !

Tu n'as vraiment aucune vision géométrique ? Etant donné une droite D et un point O qui n'est pas situé sur cette droite, il existe un unique plan contenant D et passant par O. C'est ce plan que j'appelle OD.

Par contre si on se donne deux droites dans l'espace, il n'y a aucune raison pour qu'elles soient contenues dans un même plan !

Bon, si tu bloques sur des choses comme ça, il vaut peut-être mieux qu'on arrête ?

[fatal_error]

hello,

pour mehdi128 ne désespère pas j'ai mis pas mal de temps pour capter à peu pres ce qu'il se passe.
Je trouve les schema de robot très clairs (notamment le dernier), mais c'est pas le premier qui m'a fait comprendre ce qu'il se passait.

pour moi il s'agit plus de qqch de l'ordre de
http://www.scratchapixel.com/images/upl ... ctive4.png?

pour chaque point de l'espace, tu traces la droite (ton oeil, le point) et tu l'intersectes dans le plan focal (le plan rouge de robot), ce qui te donne un point (projeté) P1.

tu fais ca pour tous les points...
comme tu es feignant, tu te rends compte que si t'as une arrete d'un solide dans l'espace, alors au lieu de prendre 40000 points de ton arrete et de les projeter, ben tu prends les deux extremités et tu les projettes.
et tes deux points projetés forment le segment projeté de ton arrête sur le plan focal.

maintenant que tu sais projeter une droite, si tu prends droites paralleles, que tu les projettes, ces ceux droites projetées se croisent en un point P2 dans ton plan focal.
Si tu en prends deux autres, elles vont se croiser en P3, et P2 et P3 appartiennent à l'horizon (tout comme p2)
(sauf si tes deux droites sont parallèles au plan focal)

par rapport à l'infini.
si tu prends un point (que je nomme foireux) sous ton oeil, et que tu prends la droite ton point ton oeil... si jamais ta droite est parallèle au plan focal...ben t'as pas d'intersection...
par contre si tu décales un chouilla ton point, alors tu auras une intersection... ben grossomodo, plus ton point se rapproche du foireux, plus ton point d'intersection sur le plan "s'éloigne", et on dit (j'ai jamais compris pourquoi) que ton point projeté appartient à la droite de l'infini.

[Ben314]

...plus ton point d'intersection sur le plan "s'éloigne", et on dit (j'ai jamais compris pourquoi) que ton point projeté appartient à la droite de l'infini.

Ça provient du fait que le "vrai" (au sens mathématique) plan projectif, c'est pas le "plan image" de ton dessin (en particulier du fait qu'il y a en plus les "points à l'infini"), mais plutôt l'ensemble de ce que ton œil voit (*) qui est appelé "plan projectif".
En particulier, si tu prend un autre "plan image" non parallèle au premier, c'est toujours le même "plan projectif" au sens mathématique que tu as "sous les yeux" et dans ce nouveau plan, ce qui était "les points à l'infini" du premier plan, ça devient une simple droite.

(*) Avec la considération (ne coïncidant pas franchement avec le dessin) que, dans le vrai plan projectif mathématique, ce que ton "œil voit", c'est toute une droite (donc y compris ce qu'il y a "derrière l'œil") et pas seulement une demi droite. Si on considère que ce que "l'œil voit", c'est une demi droite, alors, de façon assez triviale, ce que "ton œil voit", ça correspond très exactement à la sphère S^2 de R^3 qui est, globalement (=topologiquement) parlant, très très différent du plan projectif mathématique (mais localement parlant, c'est bien la même chose).
En particulier, sur ton dessin, si on raisonne en terme de demi droite, il faudrait au minimum placer un second plan "image" de l'autre coté de l'œil pour projeter ce qu'il y a de l'autre coté de l'œil (alors qu'en "vrai projectif" avec des droites et pas des demi-droites, ce qu'il y a de l'autre coté peut se projeter sur le même plan).
L'autre truc, c'est qu'avec des demi droites, tu aurais un "point à l'infini" correspondant à chaque demi-droite d'origine l'œil et parallèle au "plan image", donc deux points à l'infini pour chaque droite alors qu'en projectif (mathématique), il n'y a qu'un seul point à l'infini pour chaque droite.

Enfin, bref, c'est pas trop mal comme point de vue pour avoir un idée locale de ce qu'est l'espace projectif, mais a mon avis, ça en donne une très mauvaise idée globale, en particulier du fait que le plan projectif est une variété non orientable alors que là, ce qu'on construit, c'est la sphère S2 qui est bien évidement orientable.

[Robot]

maintenant que tu sais projeter une droite, si tu prends droites paralleles, que tu les projettes, ces ceux droites projetées se croisent en un point P2 dans ton plan focal.
Si tu en prends deux autres, elles vont se croiser en P3, et P2 et P3 appartiennent à l'horizon (tout comme p2)
(sauf si tes deux droites sont parallèles au plan focal)

Un bémol : ça n'est vrai que pour des droites parallèles à un même plan. L'horizon est l'horizon d'un plan, ou plus exactement d'une direction de plan. L'horizon que j'ai dessiné dans mon schéma est l'horizon du plan P, et c'est une erreur de penser que des droites de l'espace parallèles entre elles vont toujours avoir un point commun sur cet horizon ! Ce n'est absolument pas vrai pour des droites non parallèles au plan P.

La projection de centre O induit un isomorphisme du "complété projectif" de P (la plan P auquel on a ajouté une droite de l'infini) sur le "complété projectif" de T. Ce qu'il y a d'intéressant dans cet isomorphisme, c'est que la droite de l'infini du plan P devient une brave droite du plan T (c'est l'horizon dessiné sur le plan T). Bien sûr, ça se paie : il y a une droite du plan P (précisément, l'intersection de P avec le plan parallèle à T passant par O) qu'on ne voit plus dans le plan affine T, puisque la projection de centre O l'envoie sur la droite de l'infini de T. Une autre façon de dire les choses, en projetant dans l'autre sens : cette droite intersection de P avec le plan parallèle à T passant par O, c'est l'horizon de T dans la projection de centre O de T sur P.

On voit le rôle joué par la projection centrale dans toute cette histoire. Ce n'est pas pour rien que la géométrie projective s'appelle ainsi.

[mehdi-128]

Ok Robot, je vois pour la droite et le point permettant de former un plan qui contient la droite, c'est logique.

Je pensais plus en vecteurs, quand on a besoin de 2 vecteurs pour former un pla.

[mehdi-128]

J'ai fait mon dessin pour montrer que les droites parallèles au plan rouge ne s’intersectent jamais.
J'ai du mal a dessiner à la main je sais jamais trop ou placer l'intersection d'une droite avec un plan je sais pas si vous avez une méthode

C'est correct ?

photo.JPG (115.66 Kio) Vu 359 fois

[mehdi-128]

maintenant que tu sais projeter une droite, si tu prends droites paralleles, que tu les projettes, ces ceux droites projetées se croisent en un point P2 dans ton plan focal.
Si tu en prends deux autres, elles vont se croiser en P3, et P2 et P3 appartiennent à l'horizon (tout comme p2)
(sauf si tes deux droites sont parallèles au plan focal)

Un bémol : ça n'est vrai que pour des droites parallèles à un même plan. L'horizon est l'horizon d'un plan, ou plus exactement d'une direction de plan. L'horizon que j'ai dessiné dans mon schéma est l'horizon du plan P, et c'est une erreur de penser que des droites de l'espace parallèles entre elles vont toujours avoir un point commun sur cet horizon ! Ce n'est absolument pas vrai pour des droites non parallèles au plan P.

La projection de centre O induit un isomorphisme du "complété projectif" de P (la plan P auquel on a ajouté une droite de l'infini) sur le "complété projectif" de T. Ce qu'il y a d'intéressant dans cet isomorphisme, c'est que la droite de l'infini du plan P devient une brave droite du plan T (c'est l'horizon dessiné sur le plan T). Bien sûr, ça se paie : il y a une droite du plan P (précisément, l'intersection de P avec le plan parallèle à T passant par O) qu'on ne voit plus dans le plan affine T, puisque la projection de centre O l'envoie sur la droite de l'infini de T. Une autre façon de dire les choses, en projetant dans l'autre sens : cette droite intersection de P avec le plan parallèle à T passant par O, c'est l'horizon de T dans la projection de centre O de T sur P.

On voit le rôle joué par la projection centrale dans toute cette histoire. Ce n'est pas pour rien que la géométrie projective s'appelle ainsi.

Je commence à être perdu avec les isomorphismes, je sais juste que c'est une bijection.

C'est quoi la droite de l'infini du plan P qui devient l'horizon dans T ?
C'est quoi la droite à l'infini de T ?

Parce que d'après ce que j'ai compris, 2 droites parallèles de P se rejoignent en 1 point de l'horizon sur T.

[Robot]

Il y a une chose à capter : dans les schémas, on ne représente pas les plans projectifs en entier, on ne représente qu'un plan affine (plan "normal"), et encore juste un morceau de celui-ci.
Notons le plan projectif complété du plan affine : la réunion de et de la droite de l'infini de . De même, notons le plan projectif complété de .
La projection de centre réalise presque une bijection de sur , mais pas tout à fait : cette projection n'est pas définie sur l'intersection de avec le plan parallèle à passant par , et les points de la droite "horizon" dans ne sont pas des projetés de points de . Par contre, cette projection de centre est une bijection du plan projectif sur le plan projectif , et on dit que c'est un isomorphisme parce que cette bijection préserve toute la structure de plan projectif (essentiellement, préserve l'alignement des points). Dans cette bijection, la droite de l'infini de est envoyée sur la droite d'horizon, ou plus exactement la droite projective complétée de la droite d'horizon. Les droites du plan parallèles au plan ont des projections parallèles dans le plan , et toutes ces projections sont parallèles à la droite d'horizon dans ; ces droites projetées ne se coupent pas dans , mais elles se coupent dans au point à l'infini de la droite d'horizon !

[mehdi-128]

Ah d'accord c'est pour ça que vous parlez du plan projectif complété !

La droite à l'infini de T est bien l'horizon ?
C'est quoi la droite à l'infini de P ?

Pourquoi cette projection n'est pas définie sur l'intersection de P avec le plan parallèle à T passant par 0 ?

Bijectif car préserve l'alignement ? Mais quel alignement ? C'est tordu quand même on passe de droites parallèles sur P à alignement sur T c'est quoi le rapport ?

[Robot]

La droite à l'infini de T est bien l'horizon ?

Non.

C'est quoi la droite à l'infini de P ?

C'est la droite ajoutée à pour former le complété projectif . Cette droite a un point par direction de droite dans .

Pourquoi cette projection n'est pas définie sur l'intersection de P avec le plan parallèle à T passant par 0 ?

Parce qu'une droite passant par et parallèle à n'a pas de point d'intersection avec .

Bijectif car préserve l'alignement ?

Non, bijectif ne veut pas dire ça.

Mais quel alignement ?

Préserver l'alignement veut dire que si trois points sont alignés dan , leurs images dans sont aussi alignées.

C'est tordu quand même on passe de droites parallèles sur P à alignement sur T c'est quoi le rapport ?

Je ne comprend pas ce que tu veux dire.

Je pense que je vais arrêter là. Tu interprètes pas mal de travers ce que j'écris, donc il vaut sans doute mieux que je ne continue pas à t'embrouiller.

[mehdi-128]

Bah normal je vous ai demandé ce qu'est la droite à l'infinie de T et la droite à l'infinie de P, vous m'avez pas répondu donc je risquais pas de comprendre la suite si je sais même pas c'est quoi ces droites à l'infini.

[Robot]

Un dernier mot :
Tu peux utiliser (je ne sais pas si ça te parlera) la description de plan projectif correspondant à la définition que tu rencontreras peut-être plus tard et déjà évoquée par Ben314 :
L'ensemble des droites passant par est un plan projectif (dans ce plan projectif, un point est une droite de l'espace passant par , peut être dur à avaler, mais c'est la définition !). Notons ce plan projectif.
Il y a une injection de dans définie de la manière suivante : on envoie le point de sur la droite qui est un point de . Tous les points de sont atteints, sauf les droites passant par et parallèles à .
On complète le plan affine en un plan projectif en ajoutant une droite à l'infini dont les points correspondent aux directions de droite dans . Tu vas encore demander ce qu'est cette droite à l'infini. Cette question est sans objet, cette droite à l'infini est un ensemble qu'on ajoute à pour obtenir un plan projectif; cet ensemble n'est pas contenu dans l'espace affine de dimension 3.
On a maintenant une bijection de sur qui étend l'injection de dans déjà définie, en envoyant le point de à l'infini dans la direction de la droite sur la droite parallèle à passant par .
Cette bijection est un isomorphisme de plans projectifs. Je dis juste ce qu'est l'alignement de trois points , et de : ces trois points sont alignés si et seulement si les droites , et sont coplanaires.