Plan projectif

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hello,

question.
suivant ce lien
http://kahrstrom.com/mathematics/documents/OnProjectivePlanes.pdf

soit PG(2, 2)
un point de PG est un vecteur de F_2^3 ((0,0,0) et un point de F_2^3)
on définit les lignes de PG par les plans passant par 0, de la forme
ax+by, avec a et b dans F_2 et x et y dans F_2^3

Comme on utilise F_2, on a 2^2+2+1 == 7 points et donc 7 lignes.
Mon but est de construire les 7 lignes de PG(2, F_2^3)

pour ca, je prends donc un plan au pif (par exemple (x=(0,0,1) et b=(0,1,0)))
je prends tous les a et les b de F_2, et je garde les points P engendrés
apparemment, pour a inversible, on peut écrire
ax+by = x + b'y, et donc on a deux points générés
et un de plus pour l'elem (à la constante multiplicative pres) a nul, donc 3 points.

Mais ce que je comprends pas trop, c'est les deux points suivants:
- comment je choisis mes vecteurs? car si j'en prends deux aux pifs, ca me fait 2 parmi 7=28 choix...
or seulement sept ligne sont valides.
Si je garde trivialement les points (0,0,1), (1,0,0) et (1,0,1) ils sont complanaires donc ca élimine du candidat...
n'ya-t-il pas un moyen de les choisir "pas au hasard"?

- une question un peu bete, mais je vois pas ce que ca change que dans F_q, il faut que
q soit premier?

[Ben314]

Je complète le post. au fur et à mesure...

1) Les point de ton PG(2,2) ce sont les vecteurs non nuls de F_2^3 (en fait c'est plutôt les paires {0,u} où u est un vecteur de F_2^3 vu que ce sont les droites vectorielles de F_2^3)

2) les droites projectives de PG(2,2) sont effectivement les plans vectoriels de F_2^3 qui ont pour équation z=ax+by (a,b dans F_2) OU BIEN x=cst OU BIEN y=cst OU BIEN x=y (donc 4+2+2+1=7 droites)
A mon avis, c'est plus simple d'appréhender les 7 plan en question en disant qu'ils ont pour équation ax+by+cz=0 avec a,b,c non tous nuls (8-1=7 plans)

3) Concernant tes "je choisi 2 points au pif -> ça me donne une droite projective(=plan vectoriel)", c'est O.K., mais le s.e.v. de F_3^3 engendré par tes deux points U et V, il contient évidement 4 éléments (c'est un s.e.v. de dim 2 donc 2^2=4 éléments) donc il contient 3 éléments non nuls, à savoir U, V et U+V.
Et, bien sûr, si tu avait choisi au départ les vecteurs U et U+V, ça t'aurais donné le même plan(=droite projective :lol3:)
Donc, pour chaque droite projective, tu as 3 paires de points qui donnent cette droite là : si la droite est {U,V,U+V} elle est "produite" par les paires {U,V}, {U,U+V} et {V,U+V}
BILAN : Le coeff binomial (7 2) qui vaut 21 et pas 28 est à diviser par 3.

Concernant la dernière question, on peut faire quasi pareil dans Fq avec q premier ou... une puissance d'un nombre premier : il existe des corps à q élément (et même un seul à isomorphisme prés) ssi q est une puissance d'un nombre premier.

Le truc nettement plus simple dans le cas de F_2, c'est que, normalement, un "point" d'un espace projectif, c'est toute une droite vectorielle, or dans le cas de F_2, une droite vectorielle est composée d'un seul vecteur en plus du vecteur nul donc on peut "identifier" les point projectifs aux vecteurs non nuls alors que, si par exemple on travaille sur F_3, les droites vectorielles vont contenir 2 vecteurs non nul.

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Concernant la dernière question, on peut faire quasi pareil dans Fq avec q premier ou... une puissance d'un nombre premier : il existe des corps à q élément (et même un seul à isomorphisme prés) ssi q est une puissance d'un nombre premier

ok

Le truc nettement plus simple dans le cas de F_2, c'est que, normalement, un "point" d'un espace projectif, c'est toute une droite vectorielle

Je vais essayer avec F_3, ce soir ou demain (probablement demain) de toute façon

BILAN : Le coeff binomial (7 2) qui vaut 21 et pas 28 est à diviser par 3.

ok pour 3)

Mais...

plans vectoriels de F_2^3 qui ont pour équation z=ax+by (a,b dans F_2) OU BIEN x=cst OU BIEN y=cst OU BIEN x=y (donc 4+2+2+1=7 droites)

Je comprends pas (pour les cas x cst ce que ca signifie, ni x==y)

par ex j'ai les vecteurs suivants:
x=(1,0,0)
y=(1,0,1)
ces deux là me génèrent un plan. ok

Mais je vois pas ce que ca signifie de prendre x=y par exemple. Parce que du coup
z = (a+b)x
et les points générés génèrent le même point projectif ((0,0,0) + [x]) [x] au scalaire près, ce qui fait un seul point pour la droite projective...générée par z = (a+b)x oO

[Ben314]

J'ai effectivement écrit des (grosses) c... concernant les plans de k^3...

Si k est un corps (absolument quelconque) les plans vectoriels du k-e.v. k^3 sont des trucs d'équation ax+by+cz=0 où a,b,c sont des constantes (non toutes nulles) de k.
(1) Si c est non nul, tu peut récrire ton équation sous la forme "fonctionnelle" z=-(a/c)x-(b/c)y.
(2) Si c est nul et b non nul tu peut récrire l'équation sous la forme y=-(a/b)x
(3) Si c et b sont nuls (donc a non nul) ton plan a pour équation x=0
Si k=Z/2Z, les coeffs. peuvent prendre 2 valeurs donc il y a 2^2 plans du type (1), 2 du type (2) et 1 du type (3)

Donc j'ai écrit des c... : les plans x=cst et y=cst, ce sont des plans affines et pas vectoriels (sauf si cst=0)

Par contre x=y, c'est bien un plan et, si k=Z/2Z, c'est celui contenant (0,0,0) ; (0,0,1) ; (1,1,0) ; (1,1,1)
Et z=kx, c'est aussi un plan : il contient (0,0,0) ; (0,1,0) ; (1,0,k) ; (1,1,k)
De toute façon, dés que tu as UNE équation linéaire (non dégénérée) ç'est un plan : que tu l'écrive ax+by+cz=0 ou autrement, ça ne change pas grand chose...

[fatal_error]

re,

pour moi c'est toujours pas clair. Chui pas très bon dans l'abstrait...assez basique
pour (1)
z=-(a/c)x-(b/c)y
tu dis a,b,c constantes non nulles, donc si je pose
a' = a/c, b' = b/c
j'ai le plan
z = a'x + b'y
mais comment je construis mes points?

je suis familiarisé avec la notion z = ax+by mais avec x et y connus, et on trouve les points du plan en prenant tous les z et en disant tel z peut s'écrire sous la forme ax+by en trouvant a et b. Ici c'est pas le cas vu que a' et b' sont donnés

de même pour (2) je vois pas comment tu déduis de x=y que les points du plan sont (0,0,0), (0,0,1)..

parce que dans la notation, j'ai l'impression que x,y,et z sont considérées comme variable et non pas a,b,c...
dois y avoir un truc con, mais je percute pas

[Ben314]

Effectivement, exactement comme dans le bête plan euclidien usuel où on écrit qu'une droite a pour équation y=ax+b, il faut voir dans cette formule a et b comme fixé (pour une même droite), x qui décrit R et y qui est calculé en fonction de x : les points de la droite sont ceux de coordonnées (x,ax+b) avec x quelconque dans R.

Donc, dans F2^3, comme x et y ne peuvent prendre que les valeurs 0 ou 1, le plan d'équation z=ax+by contient les 4 points (0,0,0), (1,0,a) ; (0,1,b) ; (1,1,a+b) en bref, les points (x,y,ax+by) quoi... :zen:
De même, le plan d'équation x=y, c'est tout les points de coordonnées (x,x,z) avec x et z quelconques (0 ou 1) et ça te fait les 4 points (0,0,0) ; (0,0,1) ; (1,1,0) ; (1,1,1)

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pt1111 je pensais x et y dans F_2^3 alors qu'ils étaient juste dans F_2 et (x,y,z) étant un point de F_2^3 :mur:

en fait, n=(a,b,c) définissent juste la normale au plan
et P(x,y,z) point du plan avec P.n = 0

[Ben314]

en fait, n=(a,b,c) définissent juste la normale au plan
et P(x,y,z) point du plan avec P.n = 0

Tout à fait, et ça explique parfaitement pourquoi il y a autant de droites que de points et ça explique aussi le principe de dualité : dans ax+by+cz=0 il y a parfaite symétrie entre (x,y,z) [le point distinct de (0,0,0) en projectif] et (a,b,c) [la droite projective forcément distincte de (0,0,0)]