PGCD qui divise ou non, en fonction de n

[Deura]

Bonjour à tous !

Je suis bloqué devant une question :

divise lorsque n est egal à :
2010 - 2011 - 2012 - 2013 - 2014 - 2015

(C'est un qcm, et il peut y avoir plusieurs bonnes réponses)

J'ai l'impression qu'il me manque les formules à appliquer.

Merci pour vos indices

[aviateur]

Bjr
Déjà calculer le PGDC facilite la vie. dont les racines sont

et voir que
ça montre que n est impair et puis que n=2013

[Deura]

Merci pour ta réponse rapide aviateur

Cependant, je n'ai pas saisi l’entièreté de ta démarche.
Quand je calcul le PGCD, en me servant de division euclidiennes successives, je trouve - X^3 - 1 , ce qui est l'opposé de ton pgcd. Est-ce que cela a de l’importance ou non ?
Et ensuite comment as-tu trouvé ton PGCD ? Comment passé de X^3 + 1 à (x+1)(x²-x+1) ?

Ensuite, comment vois-tu que n est impair ? Et pourquoi 2013 ?
Je suis désolé de te poser autant de question, mais je ne comprends pas.7

Merci pour ta réponse

[aviateur]

Bonjour
D'abord et ça change rien. Il divise tous les deux les 2 polynômes. La logique c'est que écrire x^3+1 c'est une question d'habitude (on préfère les + au moins).
admet comme racine évidente. donc on peut mettre en facteur.
Et puis, X^3+1=0 s'écrie : on connait les trois racines cubiques (complexes) de -1 avec donc on peut même factoriser sur

Ensuite il faut éliminer tout de suite n pair. En effet -1 n'est pas racine de donc x+1
ne divise pas (ni . )

Maintenant il faut aussi que et annule (x^n+1) donc tu peux vérifier que (sauf erreur de ma part) il n'y a que 2013 qui marche.

[Deura]

Un grand merci à toi aviateur