Montrer que P' divise P, Polynomes

[Harmonie]

Bonjour !

Je dois répondre à la question "Montrer qu'un polynome de la forme est divisible par sa dérivée, avec a non nul, n un entier naturel non nul.

Si P est divisible par P', ça veut dire qu'il existe un polynôme à coefficient réel Q tel que P=QP'
Soit n = deg P
On a deg P' = n-1
De plus deg(QP')= deg (Q) + deg (P') = deg P
Donc deg (Q) = deg (P) - deg (P') = n - (n - 1) = 1
Donc deg Q = 1, Q est donc un polyôme constant ou de degré supérieur ou égal à 1 ?
On peut alors écrire que

D'après la formule de Taylor, on a

et


Du coup,

Donc


Sauf que là, j'ai un polynôme constant a(X-b)*P'(X) mais de l'autre côté de l'égalité, j'ai une somme , je serais tentée de dire que cette somme est égale à P et donc que P est divisible par sa dérivée, mais il y'a un coefficient ak gênant...

Quelqu'un peut m'aider ?

[mathelot]

[Harmonie]

En reecrivant, j'ai décidé, puisque Q est un polynome constant de le noter Q=lambda(X-b). Donc P=lambda(X-b)P'. Pourquoi est-ce lamba = 1/n ?

[mathelot]

[Harmonie]

Ah bah oui, ok. J'étais encore entrain de chercher compliqué.. Merci !

[chombier]

Question bête :
Je sais que la dérivée de x |-> (x-a)^n est x |-> n(x-a)^(n-1)

Ai-je vraiment le droit de conclure directement que le polynôme dérivé de (X-a)^n est n(X-a)^(n-1) ou faut-il revenir à la définition du polynôme dérivé ?

[mathelot]

Je sais que la dérivée de x |-> (x-a)^n est x |-> n(x-a)^(n-1)

Ai-je vraiment le droit de conclure directement que le polynôme dérivé de (X-a)^n est n(X-a)^(n-1) ou faut-il revenir à la définition du polynôme dérivé ?

il y a deux façons de dériver, analyse ou algèbre

si le corps de base K=R,C est infini, il a isomorphisme, disons f, entre les polynômes et les fonctions polynomiales, tel que


si le corps K=Z/pZ est fini, il n'y a plus d'analyse ni de dérivation au sens Newton-Leibniz;
par contre, on dérive "formellement", sans considération d'analyse.
Il reste une formule de Taylor car celle ci est exacte (et finie) pour les polynômes.

par contre, je sais pas ce que ça donne en analyse p-adique.

[Doraki]

A mon avis oui.

Sinon tu peux montrer que (PQ)' = P'Q + PQ' en partant de la définition,
puis en déduire que (P^n)' = n*P'*P^(n-1) par récurrence.
Et en bonus de ça tu peux en déduire que (P°Q)' = Q' * P'°Q.

[zygomatique]

quel est l'intérêt de cet exercice ?

....

[Harmonie]

Bonsoir zygomatique, ce n'est qu'une question de l'exercice, dans la deuxième il faut donner la décomposition en élément simple de P'/P si P est sous forme de produit de polynomes irréductible, dans la 3e il faut montrer qu'il existe c complexe tel que nP(X)=(X-c)P'(X). Au final on nous demande de déduire tous les polynomes divisibles par leur dérivée