Colorier un plan divisé par n droites ...

[Pavel]

Bonjour tt le monde.

Je suis en maths sup et je ne réussis pas à faire le premier exo qu'on nus a donné :)

L'énoncé est le suivant :

Soit n - un entier naturel. On consiodère un plan privé de n droites. Montrer que l'on peut colorier globalement chaque domaine délimité par ces droites en noir ou en blanc, de sorte que deux domaines ayant un segment de droite en commun (non réduit en un point) soient de couleur différente.

Je suppose qu'il faut le faire par récurrence. (dites moi s'il vous plait si au moins je suis sur un bon chemin)
si n=1 il est évidemment possible de faire cette division
supposons que pour n=k c'est possible aussi.
Lorsque n=k+1, on trace encore une droite. cette droite va couper des régons déjà coloriés en noir et en blanc. Si d'une part de cette droite on ne modifie rien et de l'autre on inverse tt les couleurs on aurait forcément un dessin qui répond aux exigences de l'énoncé ...

Merci d'avance pour vos éponses.

[tize]

Moi ça me parait bien ... :++:
Il est intéressant que pour des régions du plan délimités par des droites (illimités) cela marche avec 2 couleurs et par contre si ce sont des "segments" (limités) comme sur une carte il en faut 4 ! (théorème des 4 couleurs)

[yos]

Bonsoir.
La récurrence ne me semble pas si claire : si on prend deux droites sécantes en O et que l'on en trace une troisième passant par O, on ne peut pas se contenter d'inverser les couleurs d'un côté de la troisième droite.

[Flodelarab]

Bonsoir.
La récurrence ne me semble pas si claire : si on prend deux droites sécantes en O et que l'on en trace une troisième passant par O, on ne peut pas se contenter d'inverser les couleurs d'un côté de la troisième droite.

Pkoi ?
ça marche forcément .

[yos]

Pkoi ?

Fais un dessin! Il faut changer la couleur d'une région non traversée par la troisième droite.

[Flodelarab]

tu inverses TOUTES les regions d'un coté du plan et pas seulement celles traversées ... il l'a dit.

Donc c good !

non?

[Pavel]

Merci beaucoup.