A^n −1 divise a^m −1⇔n divise m avec a⩾2, m,n⩾1 entiers).

par **Ben314** » 10 Oct 2016, 19:10

Pseuda a écrit:C'est ta suggestion de démonstration par récurrence, qui à mon avis, embarque sur une mauvaise piste...

Pseuda a écrit:Enfin la démo avec les congruences est quand même plus simple....

Allez, encore un petit effort dans cette voie et on pourra (enfin) dire que tu n'est plus de mauvaise foi... :hehe:

par **zygomatique** » 10 Oct 2016, 20:14

mon début qui ne montre qu'une implication pouvait se généraliser ensuite avec la division euclidienne ::
m = qn + r

le premier terme est multiple de

d'après ce qui précède ...

d'autre part :

en traitant éventuellement à part le cas limite a = 2 et n = 1 ...

par **Pseuda** » 10 Oct 2016, 21:58

Bonsoir,

Il me semble que les congruences sont vus très rapidement en arithmétique. C'est aussi l'exemple classique d'une relation d'équivalence.

Bon, si on ne veut/sait pas utiliser les congruences, la démo de zygomatique est celle qui permet de contourner le problème, c'est-à-dire d'utiliser cet outil sans mettre un nom dessus.....

Donc, si je veux continuer dans cette voie (car je ne sais pas de quel côté est la mauvaise foi), je dirais qu'il est nullement besoin d'utiliser la récurrence. :mrgreen:

par **Kolis** » 10 Oct 2016, 22:04

Puisque vous avez l'air d'aimer le thème, une petite rallonge :
Montrer que

par **Pseuda** » 10 Oct 2016, 22:15

Kolis a écrit:Puisque vous avez l'air d'aimer le thème, une petite rallonge :
Montrer que

Avec ce qui précède, il est immédiat que

divise

.

par **Kolis** » 11 Oct 2016, 08:12

divise, oui mais égalité ?

par **chan79** » 11 Oct 2016, 11:29

Kolis a écrit:Puisque vous avez l'air d'aimer le thème, une petite rallonge :
Montrer que

salut
avec m>n

car

est premier avec

à continuer...

par **Ben314** » 11 Oct 2016, 13:13

Kolis a écrit:Puisque vous avez l'air d'aimer le thème, une petite rallonge :
Montrer que

C'est immédiat en utilisant l'algorithme d'Euclide et ce qui a déjà été démontré, c'est à dire que le reste de la division de

par

est

où

est le reste de la division de

par

.
Donc si

désigne le

-ième reste dans l'algo. d'Euclide appliqué à

alors le

-ième reste dans l'algo. appliqué à

sera

.
Comme l'algo s'arrête lorsque

qui est équivalent à

(modulo que

bien sûr) les deux algo. s'arrêtent au même rang et ça prouve le résultat.

par **chan79** » 11 Oct 2016, 14:31

oui, un petit exemple pour bien voir ce qu'il se passe
Si a>1, les couples suivants ont le même pgcd:

,

Le PGCD de

est

Par exemple

A^n −1 divise a^m −1⇔n divise m avec a⩾2, m,n⩾1 entiers).

Re: a^n −1 divise a^m −1⇔n divise m avec a⩾2, m,n⩾1 entiers)

Re: a^n −1 divise a^m −1⇔n divise m avec a⩾2, m,n⩾1 entiers)

Re: a^n −1 divise a^m −1⇔n divise m avec a⩾2, m,n⩾1 entiers)

Re: a^n −1 divise a^m −1⇔n divise m avec a⩾2, m,n⩾1 entiers)

Re: a^n −1 divise a^m −1⇔n divise m avec a⩾2, m,n⩾1 entiers)

Re: a^n −1 divise a^m −1⇔n divise m avec a⩾2, m,n⩾1 entiers)

Re: a^n −1 divise a^m −1⇔n divise m avec a⩾2, m,n⩾1 entiers)

Re: a^n −1 divise a^m −1⇔n divise m avec a⩾2, m,n⩾1 entiers)

Re: a^n −1 divise a^m −1⇔n divise m avec a⩾2, m,n⩾1 entiers)

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